Схема измерения степени поляризации света. 7 глава

Т. е. каждая компонента выражается через три компоненты . Такая связь называется тензорной. Тензор выражает операцию перехода от одного вектора к другому в случае, если эти вектора непараллельные.

Тензором линейной оптической восприимчивости анизотропной среды называется матрица, связывающая между собой декартовы компоненты комплексных амплитуд поляризации и поля. Обозначим эту матрицу , тогда

или другие формы записи:

– матрица (оператор).

Тензор диэлектрической проницаемости.

По определению вектор диэлектрической индукции связан с вектором поляризации:

Следовательно, связаны и комплексные амплитуды, тогда в тензорном виде:

,

где - тензор диэлектрической проницаемости линейной анизотропной среды.

,

где - ???????? Кронекера.

До сих пор считали, что оси – произвольные. Можно показать, что для любого анизотропного кристалла существует такая система координат , для которой тензор диэлектрической проницаемости является диагональным:

Такие оси называются главными осями координат. Например, в случае системы, рассматриваемой нами, одна из главных осей будет направлена вдоль , направления двух других – произвольны. Будем пользоваться именно этой системой координат. Тогда в главных осях соотношения между декартовыми компонентами индукции поля приобретают вид:

(1)

Параметры называются главными диэлектрическими проницаемостями анизотропного кристалла.

Классификация кристаллов.

Несовпадение направлений векторов обусловлено неравенством главных значений. В зависимости от соотношения между главными эдиэлекрическими проницаемостями все кристаллы делятся на три группы: изотропные, одноосные и двуосные.

Изотропными называются кристаллы, у которых все 3 главные диэлектрические проницаемости одинаковы:

Если одинаковы две из трех главных диэлектрических проницаемостей, т. е.

,

то кристалл называется одноосным. Оптические свойства среды полностью определяются двумя параметрами и , называемыми поперечной и продольной диэлектрическими проницаемостями. К оптически одноосным средам относятся все кристаллы тетрагональной, гексагональной и тригональной (ромбоэдрической) систем. Оптическая ось совпадает здесь с осью симметрии четвертого, шестого и третьего соответствующего порядка. Изотропное твердое тело (например, стекло), подверженное однородной деформации растяжения или сжатия в одном направлении, либо жидкость из анизотропных молекул, помещенная в однородное электрическое поле, также представляет собой оптически одноосную среду.

Если все три главные диэлектрические проницаемости различны, то такие кристаллы называются двуосными, т. е.

В этом случае существуют две оптические оси, вдоль которых обе волны с ортогональными поляризациями распространяются с одинаковой скоростью. Это кристаллы с более низкой симметрией (триклинная, моноклинная, ромбическая). В области прозрачности кристаллы характеризуются также показателями преломления. Изотропный кристалл характеризуется одним показателем преломления:

Одноосный кристалл имеет два показателя преломления:

(2)

Двуосный имеет три главных показателя преломления:

В зависимости от соотношения между главными показателями преломления одноосные кристаллы делятся на положительные и отрицательные. Положительными называются кристаллы, у которых , отрицательными – кристаллы, у которых .

 

Таблица с показателями преломления конкретных кристаллов.

Собственные состояния поляризации световой волны в анизотропном кристалле.

Основная особенность распространения света в анизотропном кристалле состоит в том, что световая волна с произвольным состоянием поляризации распадается на две линейно поляризованные волны с ортогональными направлениями поляризации, бегущих с разными фазовыми скоростями. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим сначала простые частные случаи.

Пусть плоская монохроматическая световая волна распространяется вдоль одной из главных оcей кристалла, например, оси , т. е. .

Т. к. световая волна поперечная, следует, что лежит в плоскости . Рассмотрим несколько случаев:

а) , т. е. волна поляризована вдоль главной оси кристалла . Тогда и по формуле (1) получаем , . Следовательно, вектор параллеленвектору . Это означает, что по отношению к главной волне среда изотропна. Волна бежит со скоростью , поляризация волны устойчива.

б) Пусть , т. е. световая волна распространятся в направлении и линейно поляризована вдоль главной оси кристалла. Используя те же формулы, нетркдно убедиться, что и в этом случае и параллельны друг другу. , однако скорость волны , поляризация устойчива.

в) Пусть , но не параллелен ни одной из главных осей кристалла, т. е. , . Используя формулу (1) и учитывая анизотропию кристалла, выражаемую формулами , получаем, что и лежат в плоскости , но не параллельны друг другу, однако в этом случае вектора , и не будут коллинеарны и, следовательно, волна с такой структурой не может распространяться в силу уравнения Максвелла.

Что же произойдет, если волна с поляризацией будет падать на границу кристалла? Очевидно, что в кристалле волна распадается на две волны с устойчивыми поляризациями, бегущие с разными скоростями:

По мере распространения в кристалле разность фаз между ортогональными компонентами будет меняться. Поэтому волна в кристалле будет иметь эллиптическую поляризацию, параметры эллипса поляризации будут меняться по мере изменения дистанции, пройденной волной в кристалле. Итак, на частном примере мы показали, что в анизотропном кристалле произвольная световая волна неустойчива: она распадается на две линейно поляризованные волны с ортогональными направлениями поляризации, которые бегут в одном направлении, но с разными скоростями. В рассмотренном примере, когда волна распространяется вдоль оси , есть только два устойчивых состояния поляризации: линейная поляризация вдоль оси и линейная поляризация вдоль оси . Эти состояния поляризации можно назвать собственным состояниями поляризации световой волны в анизотропном кристалле.

Оказывается, что в общем случае, когда волна распространяется в произвольном направлении относительно кристалла, имеет место аналогичный эффект, т. е. происходит разложение световой волны на волны с собственными состояниями поляризации.

Для каждого направления световой волны в кристалле имеются два «разрешенных» (собственных) направления поляризации, перпендикулярных друг другу.

Как найти собственные состояния поляризации, если световая волна распространяется в произвольном направлении относительно главных осей кристалла? Наиболее просто ответить на этот вопрос, если анизотропный кристалл является одноосным.

Как уже отмечалось, в одноосном кристалле физически выделена одна главная ось – ось , которая называется оптической осью кристалла, свет распространяется вдоль нее, сохраняет свою поляризацию, и скорость волны не зависит от ее поляризации. Если плоская монохроматическая волна распространяется в некотором направлении , то допустимые состояния поляризации определяются двумя условиями:

из-за анизотропии и в общем случае не параллельны,

из уравнений Максвелла , и должны лежать в одной плоскости.

Эти требования являются независимыми и выполняются не для любой поляризации, а для некоторых избранных, которые называются собственными поляризациями световой волны в анизотропном кристалле. Из (1) и (2) можно записать:

Оба полученных условия наиболее просто выразить, если ввести понятие главной плоскости, определив ее как плоскость векторов и , т. е. плоскость, в которой лежат волновой вектор световой волны и оптическая ось одноосного анизотропного кристалла. Тогда условия выполняются для волны поляризованной, перпендикулярной главной плоскости. Такая волна называется «обыкновенной» и обозначается индексом «о». Вектор поляризации этой волны перпендикулярен оптической оси кристалла, . Скорость обыкновенной волны не зависит от направления распространения в кристалле.

Условие нахождения векторов в одной плоскости выполняется для волны, поляризованной в главной плоскости. Такая волна называется необыкновенной и обозначается индексом «е». Вектор поляризации этой волны не перпендикулярен оптической оси кристалла, векторы и не параллельны друг другу. Скорость распространения необыкновенной волны зависит от направления в кристалле вектора поляризации. и взаимно перпендикулярны.

Итак, мы показали, что для любого вектора в одноосном кристалле существуют два разрешенных («собственных») направления поляризованной световой волны. Одно из них перпендикулярно главной плоскости, другое параллельно ей. Волна с произвольным состоянием поляризации распадается в кристалле на две линейно поляризованные волны со взаимно ортогональными «собственными» направлениями поляризации. Скорость обыкновенной волны не зависит от направления распространения и , скорость необыкновенной волны зависит от направления распространения и .

Скорость распространения необыкновенной волны. Эллипсоид показателя преломления.

Предположим, что необыкновенная волна распространяется в некотором направлении , не совпадающим ни с одной из главных осей одноосного анизотропного кристалла. Как вычислить скорость волны как функцию распространения , а мы выяснили, что скорость необыкновенной волны различна для разных направлений , следовательно, от зависит показатель преломления:

т. е. можно вычислить и для любого в кристалле, зная , некоторые из них приведены в таблице. Можно изобразить графически зависимость , она представляет собой эллипс с полуосями, равными главным показателям преломления кристалла , а значение показателя преломления кристалла для любого вектора , распространяющего в некотором направлении , равно длине отрезка, идущего из центра под углом . Так будет выглядеть картина в плоскости главного сечения. В силу симметрии одноосного кристалла поверхность показателя преломления в трехмерном пространстве имеет вид эллипсоида вращения с полуосями . Этот эллипсоид называется эллипсоидом показателя преломления.

Показатель преломления для обыкновенной волны представляет собой сферу радиуса . Сфера и эллипсоид соприкасаются в направлении оптической оси кристалла. При этом для положительного одноосного кристалла () сфера лежит внутри эллипсоида, а для отрицательного кристалла () наоборот – эллипсоид лежит внутри кристалла.

Двойное лучепреломление света на границе с анизотропной средой.

Наиболее важные особенности преломления света на границе с анизотропной средой:

Попадая в кристалл, световой луч раздваивается, демонстрируя эффект двойного лучепреломления. При этом независимо от состояния поляризации падающего света оба преломленных луча оказываются линейно поляризованными, а направления поляризации взаимно перпендикулярны;

Преломление луча может иметь место даже при нормальном падении света на границе анизотропного кристалла;

Один из преломленных лучей может не лежать в плоскости падения (плоскость падения – плоскость, проведенная через вектор падающей волны и нормаль к поверхности).

По закону преломления , но, т. к. показатели преломления для обыкновенного и необыкновенного луча различны, то, вообще говоря, закон Снеллиуса нужно записать отдельно для обыкновенной и необыкновенной волн:

Кроме того, вектор распространения световой волны

не совпадает в общем случае с направлением волнового вектора . Именно это обстоятельство определяет эффект преломления света в анизотропном кристалле при нормальном падении.

Плоская монохроматическая волна с волновым вектором падает перпендикулярно на границу одноосного анизотропного кристалла так, что оптическая ось кристалла лежит в плоскости падения. В этом случае волновые вектора световых волн в кристалле направлены как и вектор падающей волны перпендикулярно границе раздела, так же направлен и вектор . Но вектор отклоняется, что и обусловливает эффект двойного лучепреломления. Можно показать, что в одноосном анизотропном кристалле необыкновенный луч направлен по нормали к эллипсоиду показателя преломления.

3) В рассмотренных примерах полагалось, что оптическая ось одноосного анизотропного кристалла лежит в плоскости падения световой волны на границу кристалла. В этом случае преломление света происходит в плоскости падения. Если плоскость падения и плоскость главного сечения не совпадают, то преломленный необыкновенный луч не будет лежать в плоскости падения, т. к. отклонение этого луча от волнового вектора происходит в главной плоскости, т. е. в направлении оптической оси. Таким образом, преломление света в анизотропном кристалле происходит необязательно в плоскости падения.

Получение и анализ поляризованного света.

Для получения и анализа поляризованного света можно использовать любое физическое явление, чувствительное к поляризации света. К таким явлениям относятся:

анизотропное отражение,

анизотропное поглощение,

анизотропное преломление.

Анизотропное отражение. Известно, что отражение на границе двух изотропных сред существенно зависит от поляризации падающей световой волны. Если падающий свет линейно поляризован, то при определенных условиях отражение может быть полностью подавлено. Для этого нужно, чтобы световая волна была поляризована в плоскости падения, падала на границу раздела под углом Брюстера:

Используя это явление, можно установить сам факт линейной поляризации света (если направленный под углом Брюстера свет не отражается, значит, он линейно поляризован).

Если же направить на стеклянную пластинку под углом Брюстера неполяризованный (естественный) свет, то отраженный пластинкой свет будет линейно поляризован перпендикулярно плоскости падения.

Анизотропное поглощение. Существуют анизотропные кристаллы, обладающие различным поглощением по отношению к обыкновенной и необыкновенной волнам. Так, в кристалле турмалина сильно поглощается обыкновенная волна. Если направить на кристалл неполяризованный свет, то при достаточной толщине пластинки можно получить на выходе линейно поляризованный свет (необыкновенная волна проходит, обыкновенная поглощается). В этом случае кристалл работает как поляризатор.

Если же направить на кристалл линейно поляризованный свет, то пропускание света будет зависеть от взаимной ориентации кристалла и направления поляризации. Вращая кристалл относительно оси светового пучка и наблюдая изменение интенсивности прошедшего света, можно установить факт линейной поляризации и ее направление. В этом случае кристалл работает как анализатор. Аналогичным образом работают пленочные поляроиды, использующие синтетические анизотропные материалы.

Анизотропное преломление. Для получения поляризованного света можно использовать явление двойного лучепреломления. В этом случае оба вышедших из кристалла световых луча (обыкновенный и необыкновенный) линейно поляризованы. Угол двойного лучепреломления максимален, если кристаллическая пластинка вырезана под углом к оптической оси.

Призма Глана. Для получения и анализа поляризованного света на практике широко применяются призменные поляроиды (призма Глана, призма Николя и др.).

Призма состоит из двух кристаллов кальцита, разделенных воздушным промежутком. Главные показатели преломления кальцита , , оптическая ось кристалла перпендикулярна плоскости рисунка. Пучок падает перпендикулярно на входную грань призмы (т. к. пучок перпендикулярен, двойного лучепреломления не происходит). Световой пучок не раздваивается и сохраняет направление исходного пучка. Но волна распадается на обыкновенную и необыкновенную, причем разность показателей преломления для этих волн достигает максимальной величины:

При этом угол подбирается так, чтобы свет падал на границу раздела кристалл-воздух под углом, близким к предельному углу полного внутреннего отражения. Т. к. на этой границе скачок показателей преломления больше для обыкновенной волны, эта волна испытывает полное внутреннее отражение. При этом же угле падения необыкновенная волна не испытывает полного внутреннего отражения, она проходит воздушный промежуток, второй кристалл и образует на выходе линейно поляризованный свет. В таком варианте призма работает как поляризатор, разумеется, она может работать как и анализатор. Коэффициент пропускания призмой линейно поляризованного света зависит от взаимной ориентации вектора поляризации волны и оптической оси кристаллов.