Логика и методы финансовых вычислений

Подавляющий объем операций, связывающих фирму с ее контрагентами, т. е. опера­ций, в известном смысле выходящих за пределы фирмы, имеют финансовую природу. Многие операции представляют собой, но сути, реализацию некоторой комбинации

7.5. Логика и методы финансовых вычислений «193

двух типовых процессов в отношении финансовых ресурсов — их мобилизации pi инве­стирования. Как известно, эффективность подобных процессов всегда определяется с учетом временной ценности денег, стоимости источника средств, уровня ожидаемого дохода в терминах процентных ставок и т. п. В основе аналитического обоснования того или иного решения финансового характера как раз и лежат финансовые вычисления. Заметим, что даже в анализе отчетности, когда проведение непосредственных расчетов в терминах процентных доходов-расходов вроде бы не предполагается, понимание их логики, безусловно, необходимо. Например, читая баланс фирмы, мы видим, что за ис­текший период существенно увеличилась доля заемного капитала, тогда как прибыль имеет тенденцию к снижению. Аналитик понимает, что практически любой источник средств не бесплатен, причем в зависимости от условий договора по его мобилизации затраты по поддержанию источника могут наращиваться по сложным процентам, а по­тому изменение структуры финансирования, не подкрепленное стабильностью генери­рования доходов фирмы, может в скором будущем привести к финансовым затрудне­ниям вплоть до инициирования процедуры банкротства. Иными словами, даже если пользователь отчетности (менеджер, аналитик, экономист) непосредственно не зани­мается ссудо-заемными операциями, он тем не менее должен отчетливо представлять экономическую их природу, финансовые условия и последствия.

В основе финансовых вычислений - понятие временной ценной ценности денег, суть которого в том, что рубль «сегодня» неравнозначен рублю «завтра». Можно гово­рить о трех причинах упомянутой неравнозначности.

Во-первых, экономике, как правило, свойственна инфляция, т. е. снижение покупа­тельной способности денежной единицы. Это обстоятельство обусловливает необходи­мость введения поправки к суммам, фигурирующим в конкретной операции. Так, если фирма выдает долгосрочный кредит своему контрагенту на условиях единовременного его возврата, то ее руководство должно понимать, что полученный обратно номинал кредита будет менее ценен по своей покупательной способности, а потому должна быть предусмотрена система по крайней мере возмещения этих условных потерь.

Во-вторых, всегда существует риск невозврата выданных контрагентам средств. Лучшим противодействием этому могло бы быть получение соответствующего обеспе­чения или гарантии от третьего лица. Однако и в этом случае возникают дополнитель­ные сложности; кроме того, далеко не все операции финансового характера можно и/или рационально осуществлять на условиях их обеспечения. Разработка некой сис­темы противодействия указанному риску вновь основывается на учете фактора време­ни и эффективных ставок и в среднем страхует фирму от возможных потерь.

В-третьих, в бизнесе не должно быть неработающих средств. Если выбран некий ва­риант инвестирования средств, например, в производственные запасы, в дебиторов, в материально-техническую баз}', то инвестор (менеджер) должен понимать, что дан­ный вариант инвестирования для него экономически оправдан и выгоден. Суждение об этом вновь делается с помощью финансовых расчетов.

Учесть влияние фактора времени при оценке бизнеса или обосновании целесооб­разности установления с ним отношений инвестиционно-финансового характера как раз и можно с помощью финансовых вычислений, логика которых определяется сле­дующими утверждениями:

- практически любую финансово-хозяйственную операцию можно выразить в тер­
минах финансов;

- в подавляющем большинстве случаев собственно операции или их последствия
«растянуты» во времени;

- с каждой операцией можно увязать некоторый денежный поток;

194 • Глава 7. Методы анализа отчетных данных

- денежные средства должны эффективно оборачиваться, т. е. с течением времени
приносить определенный доход;

- элементы денежного потока, относящиеся к разным моментам времени, без опре­
деленных преобразований не сопоставимы;

- преобразования элементов денежного потока осуществляются путем примене­
ния операций наращения и дисконтирования;

- наращение и дисконтирование могут выполняться по различным схемам и с раз­
личными параметрами.

Логика построения основных алгоритмов, учитывающих фактор времени, достаточ­но проста и основана на следующей идее. Простейшим видом финансовой сделки явля­ется однократное предоставление в долг некоторой суммы PVc условием, что через не­которое время t будет возвращена большая сумма FV. Как известно, результативность подобной сделки может быть охарактеризована двояко: либо с помощью получаемого прироста Д = FV — PV, либо путем расчета некоторого относительного показателя. Абсо­лютные показатели чаще всего не подходят для подобной оценки ввиду их несопоста­вимости в пространственно-временном аспекте. Поэтому пользуются специальным ко­эффициентом - ставкой. Этот показатель рассчитывается отношением приращения ис­ходной суммы к базовой величине, в качестве которой можно брать либо PV (получим процентную ставку г), либо FV (получим учетную ставку d):

FV-PV. FV-PV

г=--------- и а=---------. (7.15)

PV FV ^v

Итак, в любой простейшей финансовой сделке всегда присутствуют три величины: FV, PVk некоторая ставка г (в данном случае мы не уточняем, о какой ставке - процент­ной или учетной - идет речь), две из которых заданы, а одна является искомой. Про­цесс, в котором заданы исходная сумма и процентная ставка, в финансовых вычислени­ях называется процессом наращения. Процесс, в котором заданы ожидаемая в будущем к получению (возвращаемая) сумма и ставка (коэффициент дисконтирования), назы­вается процессом дисконтирования. В первом случае речь идет о движении денежного потока от настоящего к будущему, во втором - о движении от будущего к настоящему. В некотором смысле операция дисконтирования является следствием операции нара­щения.

Наращение представляет собой увеличение исходной суммы за счет присоединения к ней процентов, начисляемых некоторым образом. Известны две основные схемы дис­кретного начисления: схема простых и схема сложных процентов.

Схема простых процентов предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление. Пусть исходный инвестируемый капитал равен Р; требуемая доходность -г (в долях единицы). Считается, что инвестиция сделана на условиях простого процен­та, если инвестированный капитал ежегодно увеличивается на величину Р- г. Таким об­разом, величина инвестированного капитала через п лет (7?_л) будет равна:

R_n = P + Р г +... + Р-г = Р-{\ + п-г). (7.16)

Если и<1, то формула (7.16) трансформируется следующим образом:

R_n = Р ■ (1 +/ •''), или R_n = P -(1+t/T- r), или R_n = P-(l+t- г/Т), (7.17)

где г - годовая процентная ставка в долях единицы;

t - продолжительность финансовой операции в днях (первый и последний дни опе­рации считаются за один день);

Т - количество дней в году;

/ - относительная продолжительность финансовой операции в долях единицы.

7.5. Логика и методы финансовых вычислений «195

Для понимания сути краткосрочной операции наращения капитала, вероятно, наиболее наглядно последнее представление в (7.17), из которого видно, что полу­чаемое по итогам операции наращение рассчитывается умножением исходного ка­питала Р на произведение дневной ставки (г/Т) на продолжительность финансовой операции (t).

Считается, что инвестиция сделана на условиях сложного процента, если очередной годовой доход исчисляется не с исходной величины инвестированного капитала, а с об­щей суммы, включающей также и ранее начисленные и невостребованные инвестором проценты. В этом случае происходит капитализация процентов по мере их начисления, т. е. база, с которой начисляются проценты, все время возрастает. Следовательно, раз­мер инвестированного капитала к концу п-то года будет равен:

F_n-P.(l+ry. (7.18)

Несложно показать, что в случае ежегодного начисления процентов для лица, пре­доставляющего кредит:

- более выгодной является схема простых процентов, если срок ссуды менее одно­
го года (проценты начисляются однократно в конце периода);

- более выгодной является схема сложных процентов, если срок ссуды превышает
один год (проценты начисляются ежегодно);

- обе схемы дают одинаковые результаты при продолжительности периода один
год и однократном начислении процентов.

Использование в расчетах сложного процента в случае многократного его начисле­ния более логично, поскольку в этом случае капитал, генерирующий доходы, постоянно возрастает. При применении простого процента доходы по мере их начисления целесо­образно снимать для потребления или использования в других инвестиционных проек­тах или текущей деятельности.

Формула сложных процентов является одной из базовых формул в финансовых вы­числениях, поэтому для удобства пользования значения множителя (1 + г)", называе­мого мультиплицирующим множителем для единичного платежа и обеспечивающего наращение стоимости, табулированы для различных значений run (эту и другие фи­нансовые таблицы, упоминаемые в данном разделе, можно найти в литературе по фи­нансовому менеджменту и анализу, например в [Ковалев, Уланов]). Тогда формула ал­горитма наращения по схеме сложных процентов (7.18) переписывается следующим образом:

F_n = P-FMl(r, n), > (7.19)

где FMi{r, n) = (l+r)" - мультиплицирующий множитель.

Экономический смысл множителя FMl(r, n) состоит в следующем: он показывает, чему будет равна одна денежная единица (один рубль, один доллар, одна иена и т. п.) че­рез п периодов при заданной процентной ставке г. Подчеркнем, что при пользовании финансовыми таблицами необходимо следить за соответствием длины периода и про­центной ставки. Так, если базисным периодом начисления процентов является квартал, то в расчетах должна использоваться квартальная ставка.

В практике финансовых и коммерческих расчетов нередко оговаривается величина годового процента и частота начисления, отличная от ежегодной. Период между двумя моментами начисления процентов называется базисным интервалом, а наращиваемая сумма в этом случае исчисляется по схеме сложных процентов по ставке, соответствую­щей базисному интервалу, т. е. рассчитываемой делением исходной годовой ставки па число начислений в году:

196 • Глава 7. Методы анализа отчетных данных

F_n = P-(i+r/m)^km, (7.20)

где г - объявленная годовая ставка;

т - количество начислений в году; к - количество лет.

В финансовых контрактах могут предусматриваться различные схемы начисления процентов. При этом, как правило, оговаривается номинальная процентная ставка, обычно годовая. Эта ставка, во-первых, не отражает реальной эффективности сделки и, во-вторых, не может быть использована для сопоставлений. Для того чтобы обеспечить сравнительный анализ эффективности таких контрактов, необходимо выбрать некий показатель, который был бы универсальным для любой схемы начисления. Таким по­казателем является эффективная годовая процентная ставка г_с, обеспечивающая пере­ход от Рк F_n при заданных значениях этих показателей и однократном начислении про­центов и рассчитываемая по формуле:

г_е = (1+г/т)^т - 1.. (7.21)

Из формулы (7.21) следует, что эффективная процентная ставка зависит от количе­ства внутригодовых начислений, причем с ростом т она увеличивается. Кроме того, для каждой номинальной ставки можно найти соответствующую ей эффективную ставку; две эти ставки совпадают лишь при т = 1. Именно ставка г_с является критерием эффек­тивности финансовой сделки и может быть использована для пространственно-временных сопоставлений. Иными словами, если нужно сравнить две финансовые опе­рации, различающиеся процентными ставками и периодичностью их начисления, то несопоставимость устраняется переходом в каждом случае к эффективной годовой процентной ставке.

Оценивая целесообразность финансовых вложений в тот или иной вид бизнеса, ис­ходят из того, является это вложение более прибыльным (при допустимом уровне рис­ка), чем вложения в государственные ценные бумаги, или нет. Используя несложные методы, пытаются проанализировать будущие доходы при минимальном, «безопас­ном» уровне доходности.

Основная идея этих методов заключается в оценке будущих поступлений F_n (напри­мер, в виде прибыли, процентов, дивидендов) с позиции текущего момента. Базовая расчетная формула для такого анализа является следствием формулы (7.18):

^{pv =}71777 ^=F" ' ^{FM2(r> n)}' ⁽⁷'²²⁾

где F_n - доход, планируемый к получению в п-ом году;

PV - дисконтированная (синонимы: приведенная, сегодняшняя, текущая) стоимость, т. е. оценка величины F_n с позиции текущего момента;

г - коэффициент дисконтирования.,

Экономический смысл такого представления заключается в следующем: прогнози­руемая величина денежных поступлений через п лет (F_n) с позиции текущего момента будет меньше и равна PV (поскольку знаменатель дроби больше единицы). Это означа­ет также, что для инвестора сумма PVb данный момент времени и сумма F_n через п лет одинаковы по своей ценности. Используя эту формулу, можно приводить в сопостави­мый вид оценку доходов от инвестиций, ожидаемых к поступлению в течение ряда лет. Легко видеть, что в этом случае коэффициент дисконтирования численно равен про­центной ставке, устанавливаемой инвестором, т. е. тому относительному размеру дохо­да, который инвестор хочет или может получить на инвестируемый им капитал.

7.5. Логика и методы финансовых вычислений • 197

Множитель FM2(r, k) = l/(1 +г)^к называется дисконтирующим множителем для еди­ничного платежа, его значения также табулированы. Экономический смысл дисконти­рующего множителя FM2(r, k) заключается в следующем: он показывает «сегодняш­нюю» цену одной денежной единицы будущего, т. е. чему с позиции текущего момента равна одна денежная единица (например, один рубль), циркулирующая в сфере бизнеса k периодов спустя от момента расчета, при заданных процентной ставке (доходности) г и частоте начисления процента. Термин «сегодняшняя стоимость» не следует понимать буквально, поскольку дисконтирование может быть выполнено на любой момент вре­мени, не обязательно совпадающий с текущим моментом.

До сих пор мы рассматривали методы оценки единичных платежей (потоков), на практике исключительную важность имеют также методы оценки денежных потоков, т. е. серии последовательных платежей (притоков или оттоков). Потоки могут быть разными, вместе с тем достаточно широкое распространение в операциях инвести­ционно-финансового характера имеют так называемые аннуитеты. Логика, заложенная в схему аннуитетных платежей, широко используется при оценке долговых и долевых ценных бумаг, в анализе инвестиционных проектов, а также в анализе аренды. Чаще всего под аннуитетом понимается однонаправленный денежный поток, элементы кото­рого равны и имеют место через равные временные интервалы. Если каждый элемент аннуитета имеет место в конце соответствующего периода, аннуитет называется аннуи­тетом постнумерандо; если в начале периода - аннуитетом пренумерандо.

Оказывается, что операции, описываемые в терминах аннуитета, поддаются оцен­ке с помощью унифицированных алгоритмов. Представляют интерес две оценочные задачи:

- какова будущая стоимость аннуитета, если на поступающие (или ожидаемые
к поступлению) суммы будут начисляться проценты по оговоренной ставке, т. е. какова
будет наращенная сумма в конце финансовой операции, описанной данным аннуите­
том? (так называемая прямая задача);

- какова дисконтированная стоимость аннуитета, т. е. сколько можно заплатить
«сегодня» за возможность регулярного получения аннуитетных платежей в будущем?
(так называемая обратная задача).

Для решения прямой задачи оценки срочных аннуитетов постнумерандо и пренуме­рандо при заданных величинах регулярного аннуитетного платежа (А) и процентной ставке (г) можно воспользоваться соответственно формулами (7.23) и (7.24):

FV°_ls[=A-FM?,{r,n); pst -(l+r)=A-FM3(r, «)

где

⁾" \

(7.25)

Экономический смысл FM3(r, n), называемого мультиплицирующим множителем для аннуитета, заключается в следующем: он показывает, чему будет равна суммарная величина срочного аннуитета в одну денежную единицу (например, один рубль) к кон­цу срока его действия. Предполагается, что производится лишь начисление денежных сумм, а их изъятие может быть сделано по окончании срока действия аннуитета. Мно­житель FM3(r, n) часто используется в финансовых вычислениях, и поскольку легко за­метить, что его значения в общем виде зависят лишь от run, они также табулированы.

Для решения обратной задачи оценки срочных аннуитетов постнумерандо и прену­мерандо, являющейся основной при анализе инвестиционных проектов, денежные при-

198 • Глава 7. Методы анализа отчетных данных

токи которых имеют вид аннуитетных поступлении, можно воспользоваться соответст­венно формулами (7.26) и (7.27):

PV;;_st =A ■ FMA(r, n); (7.26)

PKre =^pv^ •(!+ r)=A-FM4(r, n)-(i+ r), (7.27)

где

Экономический смысл FMA(r, n), называемого дисконтирующим множителем для аннуитета, заключается в следующем: он показывает, чему равна с позиции текущего момента величина аннуитета с регулярными денежными поступлениями в размере од­ной денежной единицы (например, один рубль), продолжающегося п равных периодов с заданной процентной ставкой г. Значения этого множителя также табулированы.

Рассмотренные методы оценки эффективности и обоснования финансовых опера­ций широко используются в анализе и финансовом менеджменте, они необходимы для понимания многих понятий и категорий, описываемых в международных стандартах финансовой отчетности; иными словами, на современном этапе развития бизнеса по­добные методы входят в состав базового аналитического инструментария всех участни­ков бизнес-отношений. Примеры использования методов финансовых вычислений можно найти, например, в [Ковалев, 2001; Ковалев, Уланов].