Декартова прямоугольная система координат
Определение 1. Осью называется прямая, на которой:
1) выбрана начальная точка ("начало" - точка О);
2) указано (стрелкой) положительное направление отсчета;
3) выбран масштаб.
Определение 2. Декартовой прямоугольной системой координат на плоскости (в пространстве) называют две (три) взаимно перпендикулярные оси с общим началом. Первая ось OX называется осью абсцисс, вторая ось OY - осью ординат (третья ось OZ - осью аппликат).
Каждой точке плоскости (пространства) ставится в соответствие упорядоченная пара (тройка) действительных чисел - координат данной точки.
Определение 3. Уравнением линии на плоскостиназывается уравнение с двумя переменными, такое, что только координаты любой точки, лежащей на этой линии, удовлетворяют данному уравнению.
Расстояние между двумя точками на плоскости
Даны две точки на плоскости с координатами A (x1, y1) и B (x2, y2).
Y
y2 B
y1 A C
0 x1 x2 X
Из треугольника ABC:
.
Деление отрезка в данном отношении
Пусть даны две точки M1 (x1, y1) и M2 (x2, y2). Найдем на отрезке M1M2 точку N, которая делила бы данный отрезок в отношении :
.
Y
B2 M2
B N
B1 M1
0 A1 A A2 X
По теореме о пропорциональности отрезков прямых, пересеченных рядом параллельных прямых, получим
,
,
Координаты точки, делящей отрезок в данном отношении, находятся по этим формулам.
Если l = 1 , то деление отрезка производится пополам:
,
- формулы для нахождения координат середины отрезка.
Скалярное произведение векторов; скалярное произведение векторов, заданных координатами.
Скалярное произведение векторов.
Скалярным произведением вект. А и В называется число, равное произведению длин этих векторов, умноженному на косинус угла между ними
Свойства. 1) (a,b)=(b,a) (коммутативность). 2) (λa,b) =(a, λb) = λ (a,b) (ассоциативность). 3) дистрибутивно относительно сумсуммы (а+b,с)=(а,b)+(а,с) 4) Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда когда хотя бы один из вект. нулевой либо они перпендикулярны (a • b = 0, если a ┴ b).
Скалярным квадратом называется скалярное произведение вектора на себя => равен квадрату длины вектора.
(a,b)= *|b|*Cos(a^b); прab=(a,b)/
(проекция a на b). Длина
Скалярное произведение в коорд форме.Коорд орты i,j,k имеют длины, равные единицы i2=j2=k2=1, их взаимное произведение равно 0 . (a,b) =ax*bx+ay*by+az*bz. Cos и ПР находятся с помощью координат.
Векторное произведение векторов.
Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор с, который: 1) Перпендикулярен векторам a и b, т. е. с^а и с^b; 2) Имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах а и b как на сторонах, т. е. . 3.Векторы a, b и с образуют правую тройку.
Свойства: 1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т.е. [а,b] =[b,a]; 2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т. е. [а,b] = [а,b] = [b,a]; 3. Два ненулевых вектора а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т. е. а||b <=>[а,b] =0. 4.распределительное свойство:[a+b,с]=[а,с]+[b,с].