Набор векторов ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
Система из
1. Один вектор 2. Любая часть системы векторов называется подсистемой. Свойства линейно зависимых и линейно независимых векторов 7. Если система векторов Докажем, например, последнее свойство. Так как система векторов Тогда из равенства Следовательно, линейная комбинация векторов |
Определения размерности и базиса
Линейное пространство называется n-мерным, если в нем существует система из
линейно независимых векторов, а любая система из большего количества векторов линейно зависима. Число
называется размерностью (числом измерений) линейного пространства
и обозначается
. Другими словами, размерность пространства — это максимальное число линейно независимых векторов этого пространства. Если такое число существует, то пространство называется конечномерным. Если же для любого натурального числа п в пространстве
найдется система, состоящая из
линейно независимых векторов, то такое пространство называют бесконечномерным (записывают:
). Далее, если не оговорено противное, будут рассматриваться конечномерные пространства.
Базисом n-мерного линейного пространства называется упорядоченная совокупность линейно независимых векторов (базисных векторов).
Теорема 8.1 о разложении вектора по базису. Если — базис n-мерного линейного пространства
, то любой вектор
может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов:
и притом единственным образом, т.е. коэффициенты определяются однозначно. Другими словами, любой вектор пространства может быть разложен по базису и притом единственным образом.
Действительно, размерность пространства равна
. Система векторов
линейно независима (это базис). После присоединения к базису любого вектора
, получаем линейно зависимую систему
(так как это система состоит из
векторов n-мерного пространства). По свойству 7 линейно зависимых и линейно независимых векторов получаем заключение теоремы.
Следствие 1. Если — базис пространства
, то
, т.е. линейное пространство является линейной оболочкой базисных векторов.
В самом деле, для доказательства равенства двух множеств достаточно показать, что включения
и
выполняются одновременно. Действительно, с одной стороны, любая линейная комбинация векторов линейного пространства принадлежит самому линейному пространству, т.е.
. С другой стороны, любой вектор пространства по теореме 8.1 можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов, т.е.
. Отсюда следует равенство рассматриваемых множеств.
Следствие 2. Если — линейно независимая система векторов линейного пространства
и любой вектор
может быть представлен в виде линейной комбинации (8.4):
, то пространство
имеет размерность
, а система
является его базисом.
В самом деле, в пространстве имеется система
линейно независимых векторов, а любая система
из большего количества векторов
линейно зависима, поскольку каждый вектор из этой системы линейно выражается через векторы
. Значит,
и
— базис
.
Теорема 8.2 о дополнении системы векторов до базиса. Всякую линейно независимую систему векторов n-мерного линейного пространства
можно дополнить до базиса пространства.
В самом деле, пусть — линейно независимая система векторов n-мерного пространства
. Рассмотрим линейную оболочку этих векторов:
. Любой вектор
образует с векторами
линейно зависимую систему
, так как вектор
линейно выражается через остальные. Поскольку в n-мерном пространстве существует
линейно независимых векторов, то
и существует вектор
, который не принадлежит
. Дополняя этим вектором линейно независимую систему
, получаем систему векторов
, которая также линейно независимая. Действительно, если бы она оказалась линейно зависимой, то из пункта 1 замечаний 8.3 следовало, что, а это противоречит условию
. Итак, система векторов
линейно независимая. Значит, первоначальную систему векторов удалось дополнить одним вектором без нарушения линейной независимости. Продолжаем аналогично. Рассмотрим линейную оболочку этих векторов:. Если
, то
— базис и теорема доказана. Если
, то дополняем систему
вектором
и т.д. Процесс дополнения обязательно закончится, так как пространство
конечномерное. В результате получим равенство
, из которого следует, что
— базис пространства
. Теорема доказана.
Замечания 8.4
1. Базис линейного пространства определяется неоднозначно. Например, если — базис пространства
, то система векторов
при любом
также является базисом
. Количество базисных векторов в разных базисах одного и того же конечномерного пространства, разумеется, одно и то же, так как это количество равно размерности пространства.
2. В некоторых пространствах, часто встречающихся в приложениях, один из возможных базисов, наиболее удобный с практической точки зрения, называют стандартным.
3. Теорема 8.1 позволяет говорить, что базис — это полная система элементов линейного пространства, в том смысле, что любой вектор пространства линейно выражается через базисные векторы.
4. Если множество является линейной оболочкой
, то векторы
называют образующими множества
. Следствие 1 теоремы 8.1 в силу равенства
позволяет говорить, что базис — это минимальная система образующих линейного пространства
, так как нельзя уменьшить количество образующих (удалить хотя бы один вектор из набора
) без нарушения равенства
.
5. Теорема 8.2 позволяет говорить, что базис — это максимальная линейно независимая система векторов линейного пространства, так как базис — это линейно независимая система векторов, и ее нельзя дополнить каким-либо вектором без потери линейной независимости.
6. Следствие 2 теоремы 8.1 удобно применять для нахождения базиса и размерности линейного пространства. В некоторых учебниках оно берется за определение базиса, а именно: линейно независимая система векторов линейного пространства называется базисом, если любой вектор пространства линейно выражается через векторы
. Количество базисных векторов определяет размерность пространства. Разумеется, что эти определения эквивалентны приведенным выше.