Приведение матрицы к диагональному виду; базис, в котором это возможно.

Матрица Линейного преобразования-мерного линейного пространства приводима к диагональному виду тогда и только тогда, когда существует базис этого пространства, состоящий из собственных векторов данного преобразования.

Любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду при помощи некоторой линейной невырожденной замены переменных.

Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием.

Квадратичная форма переменных - функция

- коэффициенты квадратичной формы. Без ограничения общности считают тогда

Если переменные принимают действительные значения и квадратичная форма называется действительной.

Матричная запись квадратичной формы

Матрица

называется матрицей квадратичной формы, ее ранг - рангом квадратичной формы. Квадратичная форма называется невырожденной, если

Главные миноры матрицы A называются главными минорами квадратичной формы.

В пространстве квадратичную форму можно записать в виде где X - координатный столбец вектора

В пространстве квадаратичную форму можно представить в виде где f - линейный самосопряженный оператор, матрица которого в некотором ортонормированном базисе равна A.

Пределы

Предел последовательности. Основные понятия и определения.

Определение. Число называется пределом последовательности , если для любого положительного числа найдется член последовательности такой, что все члены последовательности , следующие за ним, отстоят от меньше, чем на . Определение. Число называется пределом последовательности , если в любом открытом промежутке, содержащем число , содержатся все члены последовательности , начиная с некоторого. Теорема (о единственности предела). Если — предел последовательности и — предел последовательности , то . Доказательство.Предположим, что . Возьмем . Найдется такой номер , что также существует Возьмем , которое больше и . Тогда Обозначение. есть предел : , — стремится (сходится) к , Определение. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Определение. Последовательность называется строго возрастающей (возрастающей) [ строго убывающей ] убывающей , если каждый ее член, начиная со второго, больше (не меньше) [меньше] не больше предыдущего члена. Последовательности (строго) возрастающая и (строго) убывающая называются (строго) монотонными. Определение. Последовательность называется ограниченной, если существует . Теорема. Всякая сходящаяся последовательность ограничена. Доказательство.Пусть — предел последовательности . Тогда найдется такой номер , что Тогда . Замечание. Тем самым, мы доказали ограниченность последовательности , поскольку, выбрав , получим . Определение. Говорят, что последовательность отделена от нуля, если найдется такое положительное число , что все члены этой последовательности по модулю больше . Теорема (о предельном переходе в неравенствах). Пусть и — последовательности, причем . Пусть , . Тогда . Доказательство. Предположим, что утверждение теоремы неверно, т.е. . Рассмотрим промежутки Возьмем . Тогда Получили противоречие, т.к. Замечание. Если в условии теоремы заменить неравенство на , то все равно можно утверждать лишь то, что . Действительно, Теорема (принцип сжатой последовательности, теорема о двух милиционерах). Пусть даны последовательности и существует : . Известно, что . Тогда . Доказательство.Возьмем произвольный промежуток . Обозначим . Тогда Значит, . Замечание. Принцип сжатой последовательности является теоремой существования и не следует из теоремы о предельном переходе в неравенствах. Определение. Говорят, что , если Последовательность при этом называется бесконечно большой; , если , если Определение. Последовательность называется бесконечно малой, если .

61. Бесконечно малые последовательности и их свойства.

Ф-ция называется бесконечно малой при

Другими словами, если

1. Алгебраическая сумма бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.

Пусть

Из этого следует, что

1. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть величина бесконечно малая.

Пусть

Следствия.

a) Произведение постоянной величины на бесконечно малую есть ф-ция бесконечно малая.

Пусть функция Тогда существует такое число , что

для всех -окрестности точки х₀. И пусть – бесконечно малая ф-ция, при . Тогда для выполняется неравенство

Следовательно, .

Это означает, что при есть бесконечно малая ф-ция.

b) Произведение двух бесконечно малых есть бесконечно малая функция.

c) Произведение бесконечно малой на число есть функция бесконечно малая.