Однополостный гиперболоид, его каноническое уравнение; прямолинейные образующие. Однополостный гиперболоид вращения.




однополосный гиперболоид x2/a2 + y2/b2 - z2/c2 =1 a>0,b>0,c>0; Пересек. координатные осиплоскостями x=0,y=0,z=0 по гиперболам y2/b2 – z2/c2 = 1 x2/a2 – z2/c2=1 и эллипсоид x2/a2 + y2/b2 =1 соответственно. В сечениях однополосного гиперболоида плоскостями z=h всегда получаются эллипсы x2/a2 + y2/b2 = 1 + h2/c2 с полуосями и .

Каноническое уравнение:

a = b - однополостный гиперболоид вращения вокруг оси Oz.

Горловой эллипс:

Асимптотический конус:

Сечения однополостного гиперболоида плоскостями - либо эллипс, либо парабола, либо гипербола, либо пара прямых (прямолинейных образующих).


Прямолинейные образующие

Через произвольную точку проходят две прямолинейные образующие с направляющими векторами и где:

В частности, если точку выбирать на горловом эллипсе то уравнениями прямолинейных образующих будут:

 

Двуполостный гиперболоид, его каноническое уравнение.

двуполостный гиперболоид x2/a2 - y2/b2 - z2/c2 =1 a>0,b>0,c>0; x=h получается эллипс x2/a2 + z2/b2 = -1 + h2/c2 с полуосями b*Корень(h2/a2-1) и с*Корень(h2/a2-1). При h=a получим в сечении точки (±а,0,0) – вершины двуполостного. В сечениях координ пл. z=0 и y=0 получим гиперболы x2/a2 – y2/b2 =1 и x2/a2 – z2 /c2 =1 соответсвенно.

Каноническое уравнение:

a = b - двуполостный гиперболоид вращения вокруг оси Oz.

Асимптотический конус:

Сечения двуполостного гиперболоида плоскостями: либо эллипс, либо гипербола, либо парабола, либо точка, либо .

 

Эллиптический параболоид, его каноническое уравнение.

эллиптический параболоид x2/a2 + y2/b2=2pz a>0,b>0;

Каноническое уравнение:

p = q - параболоид вращения вокруг оси Oz.

Сечения эллиптического параболоида плоскостями - либо эллипс, либо парабола, либо точка, либо .

 

 

Гиперболический параболоид, его каноническое уравнение. Семейства прямолинейных образующих гиперболического параболоида.

гиперболический параболоид x2/a2 - y2/b2=2pz a>0,b>0;

Каноническое уравнение:

Сечения гиперболического параболоида плоскостями - либо гипербола, либо парабола, либо пара прямых (прямолинейных образующих).
Прямолинейные образующие

Через каждую точку проходят две прямолинейные образующие:

 
 

 

 


Поверхности вращения.

Поверхностью вращения называется поверхность, образованная вращением какой-либо плоской линии вокруг прямой, лежащей в плоскости этой линии.

Для вывода уравнения поверхности вращения необходимо выбрать систему координат. Чтобы уравнение поверхности вращения выглядело проще, ось вращения принимают за одну из координатных осей.

Пусть в координатной плоскости Oyz задана кривая L уравнением F(Y, Z)=0 (рис. 24). Вращаем кривую L вокруг оси Oy. Получим некоторую поверхность. Пусть M(x, y, z) - произвольная точка получившейся поверхности. Тогда
, но т.к. если взять точку M1 с отрицательной аппликатой, то

Следовательно, имеем Y = y, и координаты точки M(x, y, z) удовлетворяют уравнению

Уравнение (62) и есть искомое уравнение поверхности вращения.

Т. о., чтобы получить уравнение поверхности, образованной вращением линии L, лежащей в плоскости Oyz, вокруг оси Oy, нужно в уравнении этой линии заменить z на

Аналогичные правила будут иметь место и по отношению к уравнениям поверхностей, полученных вращением плоских линий вокруг других координатных осей.

 

Цилиндры.

цилиндры второго порядка: эллиптический цилиндр x2/a2 + y2/b2 = 1 a>0, b>0; гиперболический цилиндр x2/a2 - y2/b2 = 1 a>0, b>0; параболический цилиндр y2=2px; пара пересекающихся плоскостей a2x2-b2y2=0 a>0 b>0 пара параллельных или совпадающих плоскостей x-a=0 a>=0; прямая x2+y2=0

 

Конусы.

конус второго порядка x2/a2 - y2/b2 - z2/c2 =0 a>0,b>0,c>0; Пересекая пл. z=h -> x2/a2 + y2/b2 =1. В сечении плоскостями x=0 y=0 имеем пары пересек прямых y2/b2 - z2/c2 =0; x2/a2 - z2/c2 =0 соотв.

 

Линейные пространства





©2015-2017 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных

Обратная связь

ТОП 5 активных страниц!