Предел монотонной последовательности.





Теорема Вейерштрасса. (Основная теорема теории последовательностей).

Если последовательность является нестрого возрастающей (нестрого убывающей) и ограничена сверху (снизу), то является сходящейся.

Данную теорему можно сформулировать немного иначе - Любая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел.

Определение. Последовательность называется

- монотонно возрастающей (неубывающей), если ;

- строго монотонно возрастающей (неубывающей), если ;

- монотонно убывающей (невозрастающей), если ;

- строго монотонно убывающей (невозрастающей), если ;

Монотонно возрастающие последовательности обозначают символом , монотонно убывающие - символом .

Сейчас докажем одну из важнейших теорем.

Теорема:

1. Если последовательность монотонно возрастает и ограниченна сверху, то она сходится к конечному пределу;

2. Если последовательность монотонно возрастает, но неограниченна сверху, то .

Доказательство.

Часть 1. Пусть ограниченны сверху, т.е. такое, что . Тогда, согласно теореме о существовании супремума мы можем утверждать, что .

Вспомним свойства . Их было два

Но учтем теперь что . Это значит, что . Тогда имеем следующую цепочку неравенств

Выбрасывая лишнее получим, что или , что и говорит о том, что .

Заметьте, что предел равен как раз супремуму множества .

Часть 2. Пусть теперь неограниченна сверху. Это значит, что .

Но . Значит, и поэтому можно записать . Выбрасывая в этом неравенстве , получим окончательно

что и говорит о том, что .

 

 

65. Число e.

Число е – непрерывное число=2.72.. Число е принято за основание натуральных логарифмов: логарифм по основанию е называется натуральным логарифмом и обозначается lnx. Если знак не меняется – последовательность монотонная.

Прежде чем переходить к знаменитому в математике числу e, дадим без вывода одну железную формулу, которая называется биномом Ньютона.

Напомним, что (читается: n - факториал) есть произведение целых чисел от 1 до :

По определению считается .

Выражение (читается из по )

называется биноминальным коэффициентом. Другое выражение для

имеет вид

В частности , , и т.д.

Бином Ньютона имеет вид

или в более явном виде

Отсюда легко получаются известные из школьного курса выражения для , , и т.д.

Рассмотрим теперь последовательность с членами

, .

1. Получим другое выражение для . Используя формулу бинома Ньютона, получим .

2. Покажем, что . Для этого запишем рядом и .

Так как , то , . Поэтому каждое слагаемое в больше соответствующего слагаемого в . Кроме того, в есть “лишние” положительные слагаемое

которого не было в . Поэтому .

3. Покажем теперь, что ограничена сверху.

Действительно, так как , то

.

Но так как

и вообще то < и

где в процессе выкладок использована формула для суммы геометрической прогрессии.

Итак, монотонно возрастает и . Поэтому существует который и называется числом e.

.

 

 

Предел и односторонние пределы функции. Основные понятия и определения.

Предел функции (предельное значение функции) — одно из основных понятий математического и функционального анализов. Предел - это значение, к которому функция в определённом смысле приближается при приближении аргумента к определённой точке.

1. Ограниченность функции.

Функция f(x) называется ограниченной на данном отрезке (a,b),если существует некоторые числа m и M такие, что m ≤ f(x) ≤ M при x є (a, b).

Число m0 = inf{f(x)} = max(m) при x є (a, b) называется нижней гранью функции f(x), а число M0 = =sup{f(x)} = min(M) при x є (a, b) называется верхней гранью функции f(x) на данном промежутке (a , b). Разность M0 – m0 называется колебанием функции на промежутке (a , b).

2. Предел функции в точке.

Пусть функция f(x) определена на множестве X = {x}, имеющем точку сгущения a. Запись

(1)

обозначает, что для каждого числа ε > 0 существует число δ = δ(ε) > 0 такое, что для всех x, для которых f(x) имеет смысл и которые удовлетворяют условию 0 <|x - a|< δ, справедливо неравенство |f(x) – A| < ε.

Для существования предела функции (1) необходимо и достаточно, чтобы для каждой последовательности xn → a, xn ≠ a (xn є X; n = 1, 2, …), было выполнено равенство

.

Имеют место два замечательных предела:

1) , 2) .

Критерий Коши. Предел функции f(x) в точке a существует тогда и только тогда, если для каждого ε > 0 найдется δ = δ(ε) > 0 такое, что |f(x’) – f(x’’)| < ε,

Как только 0<|x’ - a|<δ и 0<|x’’ - a|<δ, где x’ и x’’ – любые точки из области определения функции f(x).

3. Односторонние пределы.

Число A’ называется пределом слева функции f(x) в точке a:

A’ = ,

если |A’ – f(x)| < ε при 0 < a – x < δ(ε) .

Аналогично, число A’’ называется пределом справа функции f(x) в точке a:

A’' = ,

если |A’’ – f(x)| < ε при 0 < x – a < δ(ε) .

Для существования предела функции f(x) в точке a необходимо и достаточно, чтобы

f(a – 0) = f(a + 0).

4. Бесконечный предел.

Условная запись

обозначает, что для любого E > 0 справедливо неравенство:

|f(x)| > E, если только 0 < |x – a|< δ(ε).

5. Частичный предел.

Если для некоторой последовательности xn a (xn ≠ a) имеет место равенство

,

то число (или символ ) B называется частичным пределом (соответственно конечным или бесконечным) функции f(x) в точке a.

Наименьший или наибольший из этих частичных пределов обозначаются через

и

и называются соответственно нижним и верхним пределами функции f(x) в точке a.

Равенство

=

необходимо и достаточно для существования предела(соответственно конечного и бесконечного) функции f(x) в точке a.





Читайте также:
Расчет длины развертки детали: Рассмотрим ситуацию, которая нередко возникает на...
Книжный и разговорный стили речи, их краткая характеристика: В русском языке существует пять основных...
Понятие о дефектах. Виды дефектов и их характеристика: В процессе эксплуатации автомобилей происходит...
Роль языка в формировании личности: Это происходит потому, что любой современный язык – это сложное ...

Рекомендуемые страницы:



Вам нужно быстро и легко написать вашу работу? Тогда вам сюда...

Поиск по сайту

©2015-2021 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-02-12 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту:

Мы поможем в написании ваших работ! Мы поможем в написании ваших работ! Мы поможем в написании ваших работ!
Обратная связь
0.022 с.