Матрицы. Общие понятия и определения.





Матрицы. Общие понятия и определения

Матрицей размера называется прямоугольная таблица, содержащая чисел, состоящая из строк и столбцов.

Обозначение

Таблица берется либо в круглые скобки, либо окружается двумя параллельными вертикальными прямыми.

Если матрица содержит строк и столбцов, то матрица называется матрицей размера или -матрицей. Размер матрицы указывается справа внизу возле ее имени, либо таблицы с обозначением элементов.

Элементы матрицы

Элементы матрицы обозначаются , где - номер строки, в которой находится элемент, а - номер столбца.

Определение

Строка матрицы называется нулевой, если все ее элементы равны нулю. Если хотя бы один из элементов строки не равен нулю, то строка называется ненулевой.

Замечание. Аналогичное определение и для нулевого и ненулевого столбцов матрицы.

Диагонали

Определение

Главной диагональю матрицы называется диагональ, проведённая из левого верхнего угла матрицы в правый нижний.

Побочной диагональю матрицы называется диагональ, проведённая из левого нижнего угла матрицы в правый верхний.

Равенство матриц; сложение матриц; умножение матрицы на число; транспонирование матриц.

3.Транспонирование матрицы- переход от матрицы А к матрице А/, в кот строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Матрица А/ наз транспонированнойотносительно матрицы А. Св-ва: 1) (А/)/=А, 2) (λА/)/=λА/, 3) (А+В)///.4) (АВ)//В/.

1. Умножение матрицы на число. Произведением матрицы А на число λ наз матрица В=λА, элементы кот bij=λaij для i=1,2,…,m; j=1,2,…,n. Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы. Произведение матрицы А на число 0, равно нулевой матрице. (0А=0).

2. сложение матриц. Суммой двух матриц А и В одинакового размера m×n наз матрица С=А+В, элементы кот cij=aij+bij для i=1,2,…,m; j=1,2,…,n. ( т е матрицы складываются поэлементно). В частности А+0=А.

4.Две матрицы А и В одного размера наз равными,если они совпадают поэлементно, т е aij=bij для любых i=1,2,…m; j= 1,2,…,n.

 

 

Определитель квадратной матрицы. Вырожденные и невырожденные матрицы.

Если кол-во строк= кол-ву столбцов, то такая матрица наз квадратной размером m×m(матрица порядка m). Понятие определитель приминяется только для квадратных матриц, detA,(А),∆. Определителем кв матрицы А наз число, кот вычисляется по след правилам: 1) А=(а11) detA=а11. 2) А=(а11а12) detA=а11а2212а21.

21а22)

3) А=(а11а12а13)

21а22а23)

31а32а33)

Для 3) правилом ∆(Саррюса). detA=а11а22а3313а21а3231а12а2331а22а1311а32а2333а21а12.

4) Определитель п-го порядка – сумме произведения элементов какой-либо строки или столбца на их алгебраические дополнения. ∆=аi1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin. –разложение по строке. ∆=aijA1j+a2jA2j+…+anjAnj- разложение по столбцу.Аij=(-1)i+jMij- алгеброическое дополнение.

Умножение матриц.

Умножение матриц. Умножение матрицы А на матрицу В определено, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Произведением матрицы А размера m×k на матрицу В размера k×n наз матрица С размера m×n, каждый элемент кот = сумме произведений элементов i-строки матрицы А на соответствующие элементы j-столбца матрицы В. cij=ai1b1j+ai2b2j+…+aikbik.

 

7.Обратная матрица и ее вычисление.

Решить систему линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов можно и другим способом, используя обратную матрицу. При этом определитель матрицы коэффициентов должен быть также отличен от нуля.
Рассмотрим квадратную матрицу:

Вырожденной (особенной) называется квадратная матрица, если ее определитель равен нулю, и невырожденной (неособенной) – в противном случае.
Обратной для матрицы называется матрица если выполняется:


где
единичная матрица.

Для вырожденной матрицы обратной матрицы не существует.
Обратную матрицу можно вычислить разными способами.
А) Одно из правил вычисления обратной матрицы:
берется невырожденная матрица
обратная матрица находится по формуле

где присоединенная (или взаимная) матрица, состоящая из алгебраических дополнений элементов матрицы , где - минор порядка матрицы , получаемый из определителя матрицы вычеркиванием -ой строки и -ого столбца.
Обратим внимание, что в присоединенной матрице строки транспонированы в столбцы.





Читайте также:
Зачем изучать экономику?: Большинство людей работают, чтобы заработать себе на жизнь...
Основные этапы развития астрономии. Гипотеза Лапласа: С точки зрения гипотезы Лапласа, это совершенно непонятно...
Основные направления модернизма: главной целью модернизма является создание...
Обучение и проверка знаний по охране труда на ЖД предприятии: Вредный производственный фактор – воздействие, которого...

Рекомендуемые страницы:



Вам нужно быстро и легко написать вашу работу? Тогда вам сюда...

Поиск по сайту

©2015-2021 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-02-12 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту:

Мы поможем в написании ваших работ! Мы поможем в написании ваших работ! Мы поможем в написании ваших работ!
Обратная связь
0.01 с.