Математические оценки горизонтальной разрешающей способности

Beylkin (1985) вывел уравнение, позволяющее рассчитать («восстановить») контраст акустических импедансов как функцию координаты x(x, y, z) сейсмических измерений с ограниченной апертурой. Ограниченная апертура определяется значениями , где - пространственные координаты. Показано, что наблюденные данные преобразуются в обработанные с использованием отображения (координаты наблюденных данных, где - частота) в () (координаты обработанных данных). Отображение можно записать так: , где - вектор волнового числа в преобразованной (мигрированной) области, - плоскость времен пробега (так же называемая миграционным оператором) для дифрагирующего объекта в точке x для пар источник/приемник, описываемых . является производной по отношению к точке восстановления x; должна вычисляться исходя из скоростной модели среды.

Данное уравнение преобразует 5Д плоскость времен пробега в 3Д волновые числа. Преобразование согласуется с тем фактом, что в случае миграции до суммирования, каждая трасса, описываемая , служит для восстановления набора результативных точек (x, y, z). Таким образом, уравнение определяет область наблюдений D_x в пространстве волновых полей (диапазон пространственных частот 3Д). Beylkin утверждает, что описание D_x по сути является определением горизонтальной разрешающей способности. Чем больше область покрытия k, тем выше возможная разрешающая способность.

Пространственная разрешающая способность для заданной точки x, определенной посредством D_x, зависит от: (1) объема интегрирования в целом, который определяется положением источников и приемников, (2) полосы частот используемого сигнала.

Нет необходимости анализировать весь объем данных в k. Максимальное волновое число (относящееся к максимальному градиенту ) может служить приемлемым критерием разрешающей способности, при условии, что k=0 входит в диапазон волновых чисел.

Дифрагированная волна может быть описана следующим образом:

, где - время прохождения волны от точки поверхности y до точки среды x. В общем виде k может быть записано в виде векторной суммы , где k_s и k_r – вклады источника и приемника в вектор волнового числа k. Можно показать, что производная по направлению времен прохождения и по отношению к x является направлением соответствующих траекторий лучей. Таким образом, k_s и k_r ориентированы в направлении лучей в точке x. (Рисунок 12) Каждая пара источник/приемник в расстановке согласовываются с k в области волновых чисел.

Рисунок 12: Освещение дифрактора D парой источник/приемник (S/R). Направления лучей в точке D определяют компоненты волновых чисел источника и приемника общего волнового числа k. SD и RD – траектории лучей для отражающей границы в точке D с углом наклона . Траектории лучей составляют угол с вектором волнового числа (Vermeer, 1999)

Как видно из уравнения и (Рисунок 12), самыми лучшими являются данные с нулевым выносом, в связи с тем, что k_s и k_r совпадают.

Исходя из вышесказанного, можно рассмотреть D_x для среды с постоянной скоростью , в случае совмещенного источника и приемника. Для точки уравнение запишется следующим образом: , где d – расстояние от источника (и приемника) до точки среды х. Вектор в круглых скобках – единичный вектор от x_s к x.

Рассмотрим случай двумерного профиля с совмещенным источником и приемником. Направление профиля совпадает с направлением оси x. Максимальные значения k_x и k_z могут быть записаны так:

, , где - угол между вертикалью и траекторией луча из вычисляемой точки до самой дальней пары источник/приемник.

Существует разница между горизонтальной и вертикальной разрешающей способностью: k_x достигает максимума при максимальном значении d в направлении оси x, в то время как k_z достигает максимума при минимальном значении d (таким образом, , следовательно, ). Следствием этого является возможность улучшения пространственной разрешающей способности путем использования большей апертуры миграции, таким образом учитывая крутопадающие части дифрагированных волн, в то время как вертикальная разрешающая способность не зависит от апертуры.

На основе работы (Kallweit and Wood, 1982) Vermeer предлагает производить расчеты по аналогии, но для пространственных частот, для направления ( = x или y) ():

, , где с – коэффициент пропорциональности.

В случае 2Д наблюдений вдоль профиля по методике ОГТ минимальную горизонтальную разрешенность можно выразить в следующем виде:

, где и - углы между вертикальной осью и траекториями лучей пары источник/приемник с максимальным расстоянием их центра M от исследуемой точки, (то есть, максимальный угол, освещаемый парой источник/приемник) и (угол падения лучей для максимального угла падения отражающего горизонта).