Решение прикладных задач с помощью производной





Цель работы:научиться решать прикладные задачи с помощью производной.

 

Пример ВЫПОЛНения заданий

1. Тело движется прямолинейно по заданному закону .

a. Найти мгновенную скорость тела в момент времени секунду.

b. Найти ускорение тела в момент времени секунды.

c. Найти, через сколько секунд от начала отсчета мгновенная скорость тела будет равна =44м/с.

d. Найти, через сколько секунд от начала отсчета ускорение тела будет равно .

Решение:

a) Для нахождения скорости вычислим производную первого порядка . Тогда мгновенная скорость через 1 секунду .

b) Для нахождения ускорения вычислим вторую производную . Тогда через 2 секунды ускорение будет .

c) Для определения времени, по истечении которого скорость тела будет равна 44м/с необходимо решить уравнение . Получаем t=2 секунды.

d) Для определения времени, по истечении которого ускорение тела будет равно 22м/с2 необходимо решить уравнение . Остается найти t.

Отметим, что если в Вашем варианте в соответствующей колонке стоит прочерк, значит этот пункт делать не надо.

2. Составить уравнение касательной к графику функции в точке (1;1).

Решение:

По условию задачи x0=1 и f(x0)=f0=1. Уравнение касательной имеет вид

.

Таким образом, остается найти

Тогда уравнение касательной примет вид

Ход работы:

(согласно вариантам)

 

1. Тело движется прямолинейно по заданному закону S(t).

a. Найти мгновенную скорость тела в момент времени .

b. Найти ускорение тела в момент времени .

c. Найти, через сколько секунд от начала отсчета мгновенная скорость тела будет равна .

d. Найти, через сколько секунд от начала отсчета ускорение тела будет равно .

 

Тело движется прямолинейно по закону S(t)

№ варианта S(t), (м) t0 (с)   t1 (с) v0 (м/с) a (м/с2)
72 м/с -
- 36 м/с2
- 5,6 м/с2
8 м/с -
21 м/с -
5 м/с -
- 12 м/с2
32 м/с -
- 24 м/с2
20 м/с -
- 10 м/с2
20 м/с -
- 24 м/с2
30 м/с -
10 м/с -

 

 

2. Составить уравнение касательной к графику функции f(x) в заданной точке.

№ варианта f(x) (x0,y0)
(-3;-6)
(1;1)
(5;5)
(3;21)
(1;3)
(-3;6)
(1;-3)
(1; 0)
(0;1)
(2;-3)
(1;-3)
(2;-4)
(1;-1)
(1;7)
(0;0)

 

 

Контрольные вопросы:

1. В чем заключается физический смысл производной?

2. Как найти мгновенную скорость в некоторый момент времени , если задан закон движения тела?

3. Как найти ускорение тела, если задан закон движения тела?

4. В чем заключается геометрический смысл производной?

 

Решение прикладных задач на нахождение наибольших и наименьших значений

Реальных величин

Цель работы:научиться решать прикладные задачи на нахождение наибольших и наименьших значений реальных величин.

Ход работы:

(согласно вариантам)

 

1. Выделить оптимизируемую величину и обозначить ее y.

2. Одну из неизвестных величин положить независимой переменной и обозначить x.Остальные величины выразить через x, пользуясь заданными условиями задачи.

3. Исходя из условий задачи, выразить y через x.

4. Для полученной функции y решить задачу на нахождение наибольшего или наименьшего значения.

5. Интерпретировать результат.

 

Вариант №1. Каковы должны быть размеры прямоугольной комнаты, площадью 25м2, чтобы периметр ее был наименьшим?
Вариант №2. Требуется огородить сеткой длиной 600м зону отдыха прямоугольной формы, прилегающую к реке. Определите, каковы должны быть длина и ширина участка, чтобы он имел наибольшую площадь.
Вариант №3. Найдите положительное число, которое, если сложить его с обратным числом даст наименьшую сумму.
Вариант №4. Прямоугольный лист жести имеет длину 64 см и ширину 40 см. Из этого листа требуется изготовить открытую сверху коробку, вырезая по углам листа равные квадраты и загибая оставшиеся боковые полосы по прямым углом. Каковы должны быть стороны вырезаемых квадратов, чтобы вместимость коробки была максимальной?
Вариант №5. Стадион представляет собой прямоугольное поле с областями в виде полукруга, присоединенными к двум его противоположным сторонам. Периметр стадиона должен быть равен 330м. Найдите наибольшую возможную площадь?
Вариант №6. Каковы должны быть размеры прямоугольной комнаты, площадью 30м2, чтобы периметр ее был наименьшим?
Вариант №7. Требуется огородить сеткой длиной 500м зону отдыха прямоугольной формы, прилегающую к реке. Определите, каковы должны быть длина и ширина участка, чтобы он имел наибольшую площадь.  
Вариант №8. Найдите положительное число, которое, если сложить его с удвоенным кубом обратного числа, даст наименьшую сумму.
Вариант №9. Прямоугольный лист жести имеет длину 80 см и ширину 40 см. Из этого листа требуется изготовить открытую сверху коробку, вырезая по углам листа равные квадраты и загибая оставшиеся боковые полосы по прямым углом. Каковы должны быть стороны вырезаемых квадратов, чтобы вместимость коробки была максимальной?
Вариант №10. Стадион представляет собой прямоугольное поле с областями в виде полукруга, присоединенными к двум его противоположным сторонам. Периметр стадиона должен быть равен 250м. Найдите наибольшую возможную площадь?
Вариант №11. Каковы должны быть размеры прямоугольной комнаты, площадью 45м2, чтобы периметр ее был наименьшим?
Вариант №12. Требуется огородить сеткой длиной 800м зону отдыха прямоугольной формы, прилегающую к реке. Определите, каковы должны быть длина и ширина участка, чтобы он имел наибольшую площадь.
Вариант №13. Найдите положительное число, которое, если сложить его с квадратом обратного числа даст наименьшую сумму.
Вариант №14. Прямоугольный лист жести имеет длину 40 см и ширину 20 см. Из этого листа требуется изготовить открытую сверху коробку, вырезая по углам листа равные квадраты и загибая оставшиеся боковые полосы по прямым углом. Каковы должны быть стороны вырезаемых квадратов, чтобы вместимость коробки была максимальной?
Вариант №15. Стадион представляет собой прямоугольное поле с областями в виде полукруга, присоединенными к двум его противоположным сторонам. Периметр стадиона должен быть равен 500м. Найдите наибольшую возможную площадь?

Пример ВЫПОЛНения заданий

Задача. Каковы должны быть размеры комнаты, чтобы ее площадь была наибольшей, если ее периметр 16.

Решение:

1. Выделим оптимизируемую величину и обозначим ее y – это площадь комнаты, надо найти ее наибольшее значение.

2. Одну из неизвестных величин положить независимой переменной и обозначить x – это одна из сторон комнаты. Остальные величины выразим через x, пользуясь заданными условиями задачи. Вторую сторону комнаты можно выпазить через периметр и x, тогда вторая сторона будет 8-x.

3. Исходя из условий задачи, выразим y через x, так как y – это S прямоугольной комнаты, то y=x(8-x).

4. Для полученной функции y решим задачу на нахождение наибольшего значения. Для этого нужно найти производную функции и приравнять ее к нулю.

Откуда x=4.

Далее смотри пункт 3 практической работы 6 Исследование функции и построение графика функции с помощью производных.

Самостоятельно начертите рисунок. Таким образом, max y=y(4)=16.

5. Интерпретируем результат.

Комната наибольшей площади имеет форму квадрата со сторонами 4 и 4. Ее наибольшая площадь 16.

 

Контрольные вопросы:

1. Как найти наибольшее или наименьшее значение функции?

2. Поясните на примере, что значит интерпретировать результат решения задачи?

 





Читайте также:
Этапы развития человечества: В последние годы определенную известность приобрели попытки...
Методы цитологических исследований: Одним из первых создателей микроскопа был...
Определение понятия «общество: Понятие «общество» употребляется в узком и широком...
ТЕМА: Оборудование профилактического кабинета: При создании кабинетов профилактики в организованных...

Рекомендуемые страницы:



Вам нужно быстро и легко написать вашу работу? Тогда вам сюда...

Поиск по сайту

©2015-2021 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-02-13 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту:

Мы поможем в написании ваших работ! Мы поможем в написании ваших работ! Мы поможем в написании ваших работ!
Обратная связь
0.016 с.