Решение задач, приводящих к дифференциальным уравнениям

Цель работы: научиться решать задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

Ход работы:

(согласно вариантам)

Пример ВЫПОЛНения заданий

Задача 1. На плоскости хОу требуется найти кривую, проходящую через точку О(0; 0) и обладающую тем свойством, что угловой коэффициент касательной, проведенной в любой точке кривой, равен удвоенной абсциссе точки касания.

Решение:

Пусть y = f (x) — уравнение искомой кривой. По условию, в каждой точке М(х; f (х)) имеется касательная к этой кривой, угловой коэффициент которой, т. е. f '(x), равен 2х.

Таким образом, (1) Это дифференциальное уравнение, так как оно содержит производную искомой функции.

Из уравнения (1) следует, что функция у есть первообразная функции 2х. Поэтому или, (2)где С — произвольная постоянная. Из формулы (2) видно, что дифференциальное уравнение (1) имеет бесконечное множество решений.

Чтобы из этого множества решений выбрать искомое, надо воспользоваться тем, что искомая кривая проходит через точку О (0; 0). Следовательно, координаты этой точки должны удовлетворять уравнению (2), т. е. 0 = 0+С, откуда С = 0.

Итак, искомая кривая — это парабола.

Задача 2. Требуется найти закон движения свободно падающего в пустоте тела, если пройденный путь начинает отсчитываться от момента времени t = 0 и начальная скорость падения равна нулю.

Решение:

В этом случае, как известно, скорость выражается формулой

Так как скорость прямолинейного движения есть производная пути по времени, то (3) Из этого уравнения следует, что функция s есть первообразная функции g t. Поэтому

или (4) Для нахождения произвольной постоянной С воспользуемся тем, что начало отсчета пути совпадает с началом отсчета времени, т. е. s = 0 при t = 0. Подставляя эти значения в равенство (4), имеем 0 = 0 + С, откуда С = 0 и, следовательно,

.

Контрольные вопросы:

1. Чему равен угловой коэффициент касательной к данной кривой в данной точке ?

2. Как определить константу С в решении дифференциального уравнения?

3. Что означает фраза «пройденный путь начинает отсчитываться от момента времени t = 0 и начальная скорость падения равна нулю »?