План лекции
1. Тригонометрические ряды Фурье.
2. Теорема Дирихле о сходимости.
§ Тригонометрический ряд Фурье
§ Скалярное произведение и ортогональность
Пусть 
, 
— две функции пространства 
. Определим их скалярное произведение
Условие ортогональности
где 
— символ Кронекера. Таким образом, скалярное произведение ортогональных функций равно квадрату нормы функции при 
или нулю в противном случае.
Следующее наблюдение является ключевым в теории рядов Фурье: функции вида 
, 
попарно ортогональны относительно этого скалярного произведения, то есть при всех целых неотрицательных 
:
и при всех целых неотрицательных 
, 
.
Ещё одно важное свойство состоит в том, что тригонометрическая система функций является базисом в пространстве 
. Иными словами, если некоторая функция из этого пространства ортогональна всем функциям вида 
, то она тождественно равна нулю (если точнее, то равна нулю почти всюду).
§ Классическое определение
Тригонометрическим рядом Фурье функции 
называют функциональный ряд вида
где
Числа 
, 
и 
(
) называются коэффициентами Фурье функции 
. Формулы для них можно объяснить следующим образом. Предположим, мы хотим представить функцию в виде ряда (1), и нам надо определить неизвестные коэффициенты , и . Если умножить правую часть (1) на и проинтегрировать по промежутку 
, благодаря ортогональности в правой части все слагаемые обратятся в нуль, кроме одного. Из полученного равенства легко выражается коэффициент 
. Аналогично для 
Ряд (1) сходится к функции в пространстве 
.
Иными словами, если обозначить через 
частичные суммы ряда (1):
,
то их среднеквадратичное отклонение от функции будет стремиться к нулю:
.
Несмотря на среднеквадратичную сходимость, ряд Фурье функции, вообще говоря, не обязан сходиться к ней поточечно.
§ Комплексная запись
Часто при работе с рядами Фурье бывает удобнее в качестве базиса использовать вместо синусов и косинусов экспоненты мнимого аргумента. Мы рассматриваем пространство 
комплекснозначных функций со скалярным произведением
.
Мы также рассматриваем систему функций
.
Как и прежде, эти функции являются попарно ортогональными и образуют полную систему, и, таким образом, любая функция 
может быть разложена по ним в ряд Фурье:
,
где ряд в правой части сходится к по норме в . Здесь
.
Коэффициенты: 
связаны с классическими коэффициентами Фурье по следующим формулам:
o Комплексная функция вещественной переменной раскладывается в такой же ряд Фурье по мнимым экспонентам, как и вещественная, но, в отличие от последней, для её разложения и 
не будут, вообще говоря, комплексно сопряженными.
· Свойства тригонометрического ряда Фурье
Все утверждения этого параграфа верны в предположении, что участвующие в них функции (и результаты операций с ними) лежат в пространстве .
o Вычисление коэффициентов Фурье является линейной операцией:
o Справедливо равенство Парсеваля:
o Коэффициенты Фурье производной легко выражаются через коэффициенты Фурье самой функции:
o коэффициенты Фурье произведения двух функций выражаются сверткой коэффициентов Фурье сомножителей:
o рассмотрим операцию свертки функций:
где функции предполагаются периодически продолженными с промежутка на всю прямую. Тогда
§ Теорема Дирихле о сходимости
Признак Дирихле сходимости несобственных интегралов первого рода
Пусть выполнены условия:
·  и имеет на  ограниченную первообразную  , то есть  ;
· функция  ;
·  .
Тогда  сходится.
|
· Очевидно, что вместо второго условия можно также записать 
.
· Условие монотонности в признаке Дирихле существенно.
Однако, условие монотонности не является необходимым.
— сходится.
· Условие ограниченности первообразной в признаке Дирихле также является существенным, но не является необходимым.
§ Признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа