Определение (ряд Абелева типа)

Ряд

Где

и последовательность — положительна и монотонна (начиная с некоторого места, хотя бы в широком смысле слова), называется рядом Абелева типа.

Теорема (признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа)

Пусть выполнены условия: · Последовательность частичных сумм

ограничена, то есть

. ·

. Тогда ряд

сходится.

· Признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа является аналогом признака Дирихле о сходимости несобственного интеграла первого рода.

· Легко убедиться, что признак Лейбница сходимости знакопеременных рядов является частным случаем этой теоремы, а именно:

сходимость ряда Лейбница на основании признака Дирихле.

· Оценка остатка ряда Абелева типа.

Рассмотрим ряд

и пусть выполнены условия признака Дирихле. Тогда имеет место оценка:

Теоретические вопросы

1. Что называется рядом Фурье?

2. В чем заключается теорема Дирихле о сходимости рядов Фурье?

ЛЕКЦИЯ 17:

РЯДЫФУРЬЕ ДЛЯ ЧЕТНЫХ И НЕЧЕТНЫХ ФУНКЦИЙ

План лекции

3. Ряды Фурье для четных и нечетных функций.

4. Связь рядов Фурье с интегралом Фурье.

§ Ряд Фурье для четных и нечетных функций

Ряд Фурье для нечетной функции содержит только члены с синусом, а для четной функции только свободный член и член с косинусом. Докажем это утверждение в общем виде.

Лемма 1.

Если интегрируемая функция , четная, то

, (1)

а если нечетная, то

(2)

Доказательство:

Сделаем замену . Тогда

и поэтому

(3)

(в последнем интеграле переменная интегрирования снова обозначена буквой ). Из формулы (3) следует, что если четная, то справедливо равенство (1), а если нечетная, то равенство (2).

ЧТД.

В силу доказанной леммы коэффициенты Фурье для четной - периодической функции вычисляется по формулам

(4)

так как для любого функция четная, а функция нечетная. Ряд Фурье четной функции не содержит членов с синусами:

а коэффициенты вычисляются по формуле (4).

Для четной функции имеем:

(5)

так как функция нечетная, а функция четная.

Итак, ряд Фурье нечетной функции не содержит свободного члена и членов с косинусами:

а коэффициенты вычисляются по формуле (5).

Заметим, что любую - периодическую функцию достаточно задать на некотором полуинтервале длины . В остальных точках она будет определена в силу периодичности. Найдем формулы, выражающие коэффициенты Фурье этой функции через ее значения на произвольном промежутке длины . Предварительно докажем следующее утверждение:

Лемма 2.

Если - периодическая с периодом функция, то

для любого .

Доказательство:

Преобразуем последний интеграл:

где мы ввели новую переменную интегрирования , а в последнем интеграле переменную интегрирования обозначили снова буквой . Отсюда следует, что интеграл от 0 до T равен интегралу от a до a+T.