Рассмотрим организационную систему, состоящую из центра и п агентов. Целевая функция i -го агента представляет собой разность между вознаграждением, выплачиваемым i -му агенту, и квадратичными затратами, которые зависят от действия агента:
.
Рассмотрим следующую задачу: предположим, что центр хочет, чтобы агенты выбрали действия, сумма которых равна заданной величине R, то есть должно выполняться следующее условие:
.
Например, центр хочет добиться выполнения подразделениями корпорации суммарного заказа R. Считается, что подразделения выпускают однородную продукцию, и в сумме надо добиться некоторого выпуска (данная задача в качестве примера рассматривалась в разделе 3.1, в настоящем разделе она описывается в рамках общей концепции исследования манипулируемости механизмов планирования). Это - первое ограничение.
Кроме того, центр хочет, чтобы заказ был выполнен с минимальными затратами (см. пример в разделе 3.1). То есть сумма затрат агентов должна быть минимальна: 
.
Но, центр имеет возможность управлять только путем выбора функции стимулирования, то есть зависимости вознаграждения агента от результатов его деятельности. Этот параметр 
, который называется внутрифирменной ценой, один и тот же для всех агентов. Агенты, зная этот параметр, будут выбирать действия, которые максимизируют их целевые функции. Агенты в данном случае независимы друг от друга, так как их целевые функции зависят только от их индивидуальных действий, поэтому задачей центра является выбор внутрифирменной цены таким образом, чтобы затраты агентов были минимальны, было выполнено суммарное действие, и агенты выбирали действия, исходя из максимизации своих целевых функций.
Опишем поведение агента, вычислив точку максимума его целевой функции. Целевая функция агента вогнутая, имеет единственный максимум. Продифференцировав, найдем зависимость действия, выбираемого агентом, от параметра : 
. Получаем следующую задачу:
Обозначим 
. В этой задаче не остается никаких свободных переменных, так как ограничение однозначно определит , а значение , определенное из ограничения, даст значение целевой функции: а именно, должно быть равно отношению 
. Оптимальным значением целевой функции является величина 
. То есть центр имеет полную централизацию, агентам назначаются планы, и агентам выгодно их выполнять. Остается только понять, какие планы назначать агентам, чтобы достичь минимума затрат агентов при выполнении программы суммарного выпуска. Решая эту задачу, получим следующее.
Запишем лагранжиан (
– множитель Лагранжа):
.
Тогда: 
.
Следовательно, 
, то есть оптимальное действие агента пропорционально его типу.
Таким образом, сформулированы две разные задачи и получены одинаковые решения. Первая задача: центру необходимо выбрать такую внутрифирменную цену, чтобы сумма затрат агентов была минимальна, при условии, что агенты выбирают свои действия из условия максимизации своих целевых функций. Вторая задача: найти оптимальный набор планов, таких, что сумма этих планов равна R, а сумма затрат агентов минимальна. В результате множитель Лагранжа в этой задаче – внутрифирменная цена 
. Интересно, что в данной модели оптимальной оказалась пропорциональная система стимулирования, и, более того, оптимальной оказалась система стимулирования, в которой ставки оплаты для всех агентов одинаковы (такая система стимулирования называется унифицированной). Ведь можно было бы каждому агенту назначать свою цену, но оптимальна одинаковая цена для всех агентов.
Известна следующая задача: выполняется некоторый проект и необходимо сократить критический путь (время выполнения проекта). Тогда тем агентам, кто выполняет критические операции, нужно дополнительно доплачивать, чтобы они сокращали время выполнения операций, а в сумме они должны сократить длительность проекта на заданную величину. Если участники проекта, выполняющие критические операции, имеют квадратичные затраты, а за единицу сокращения времени им платят , то получается такая же задача с аналогичным решением.
Естественно, результат, который мы получили: решения задач совпадают, оптимальным является система стимулирования, когда ставки всех агентов одинаковы (унифицированная система стимулирования) – справедлив только в рамках тех предположений, которые введены выше, а именно: в данной модели существенным является предположение о виде функций затрат агента (квадратичная функция). Это свойство степенных функций дает в экономико-математических моделях много хороших свойств:
1) оптимальность унифицированной системы стимулирования (оптимальность единой ставки оплаты);
2) возможность решения задач агрегирования, то есть, решая задачи минимизации затрат с данным набором агентов с характеристиками ri, получили, что затраты на выполнение данного заказа имеют такой же вид, что и затраты одного агента с характеристикой H – все агенты могут быть заменены на одного агента, действие которого равно сумме их действий, и тип которого равен сумме их типов.
Такие свойства присущи квадратичным функциям, функциям типа Кобба-Дугласа: 
. Это можно доказать и для функций более общего вида: 
, где 
– возрастающая выпуклая функция, равная нулю в нуле.
Выше считалось, что все параметры известны, и задача решалась в рамках предположения, что, в частности, известны параметры ri функций затрат агентов. Рассмотрим задачу, когда информацией о типах агентов ri центр не обладает. Обозначим si - сообщение i -го агента о своем типе.
Центр на основании сообщений агентов решает задачу планирования, то есть определяет, какими должны быть вектор планов x (s) и значение внутрифирменной цены 
в зависимости от сообщений агентов.
Первое, что приходит в голову - воспользоваться решениями задач, которые получены при полной информированности о функциях затрат агентов. То есть центр может подставить сообщения агентов в параметры механизмов, которые мы определили, решая задачу в условиях полной информированности, и назначать планы в соответствии с полученными механизмами.
Данный путь приведет к тому, что значение будет следующим: 
, план, назначаемый i -му агенту будет равен (подставляем вместо типов сообщения): 
.
Получили так называемый механизм внутренних цен, который похож на механизм пропорционального распределения ресурса. Но информация, сообщаемая центру, зависит от агентов. Рассмотрим их целевые функции, подставив в них зависимости и xi (s)для того, чтобы понять, будет ли агенту выгодно выполнять назначенный план, и какую информацию ему будет выгодно сообщать:
.
Получили целевую функцию, которая зависит не от действий, а от сообщений агентов. Какие сообщения будет делать агент, чтобы максимизировать свою целевую функцию?
Будем искать максимум целевой функции i -го агента по его сообщению si. Для дифференцирования неудобен знаменатель, так как он тоже включает в себя si. Избавляются от этого «недостатка» введением гипотезы слабого влияния: предположим, что агентов достаточно много, то есть так много, что каждый агент своим сообщением практически не влияет на общий для всех агентов управляющий параметр – внутрифирменную цену. Знаменатель целевой функции тогда не будет зависеть от сообщения отдельного агента (сумма сообщений является «константой»). Получим, что 
, то есть сообщение достоверной информации выгодно всем агентам – механизм является неманипулируемым. Итак, для механизма внутренних цен выполняется:
1) требование сообщения агентами достоверной информации;
2) балансовое ограничение: сумма действий равна требуемой величине;
3) суммарные затраты агентов минимальны.
Механизмы экспертизы
Экспертиза – выявление свойств объекта, процесса, явления путем опроса экспертов. Руководитель, принимающий решения, не может быть универсалом, обладать исчерпывающей информацией обо всех сторонах жизни, поэтому ему приходится привлекать экспертов.
Эксперты имеют свои предпочтения, поэтому может сложиться ситуация, когда при проведении экспертизы эксперт будет сообщать недостоверную информацию.
Это может происходить, например, в следующих случаях. Пусть собрались эксперты для принятия решения в некоторой области. В ходе обсуждения один из экспертов видит, что решение, которое они собираются принять, сильно отличается от того, что он считает нужным сделать. Например, принимают решения, куда вкладывать деньги университета. Один из деканов считает, что нужно покупать вычислительную технику. Но чувствует, что сейчас примут решение о ремонте. И если этот декан раньше считал, что 30 % можно потратить на ремонт, а 70 % – на закупку техники, то он скажет: «Ничего не нужно на ремонт, давайте все отдадим на компьютерную технику». Тем самым исказив информацию (сообщив не свое истинное мнение).
Это тем более существенно, если эксперты решают (или готовят информацию для принятия решений), как разделить деньги между ними или субъектами, интересы которых они лоббируют. Искажение может происходить по благородным и неблагородным мотивам. С точки зрения математического моделирования важно, что искажение информации может иметь место, если каждый из экспертов заинтересован в том, чтобы результат экспертизы (коллективное решение) был как можно ближе к его мнению.
Предположим, что результатом экспертизы является величина 
, si - сообщение i -го эксперта, 
, ri- истинное мнение эксперта, 
. Результат экспертизы - известная функция от мнения экспертов - отображение (процедура экспертизы) 
множества возможных сообщений во множество возможных решений.
Условия, налагаемые на механизм экспертизы:
1) непрерывность;
2) монотонность;
3) условие единогласия: 
. Если все эксперты сообщили одно и то же мнение, то это мнение должно быть принято в качестве коллективного решения.
Рассмотрим сначала пример, а потом приведем общие результаты.
Пример 5.3. Пусть результат экспертизы лежит на отрезке [0;1], и имеются три эксперта. Мнение первого эксперта - оцениваемая величина равна 0,3, второго - 0,5, третьего - 0,7. Процедура экспертизы: берется среднее арифметическое мнений экспертов. Такая функция удовлетворяет всем трем требованиям: легко убедиться, что среднее арифметическое непрерывно, монотонно и удовлетворяет условию единогласия. Итак:
Эксперты будут действовать следующим образом. Пусть все эксперты сообщили правду: 
. Тогда принимаемое решение будет 0,5 (среднее арифметическое) 
. Посмотрим на поведение отдельных экспертов. Каждый эксперт хочет, чтобы результат экспертизы был как можно ближе к его мнению. Второй эксперт абсолютно удовлетворен, так как результат совпадает с тем, что он хочет. Первый недоволен, так как ему требуется меньший результат. Третий эксперт также недоволен, так как он хочет, чтобы результат был больше.
Следовательно, так как функция монотонна, то первый эксперт будет уменьшать сообщение, а третий - увеличивать. Пусть первый говорит 0, второй - 0,5, третий - 1. Тогда результат - 0,5, то есть не изменился, так как насколько первый уменьшил свое сообщение, настолько третий увеличил: s1= 0, s2= 0,5, s3= 1.
Данный вектор сообщений является равновесием Нэша игры экспертов, так как второй эксперт сообщение менять не будет, первый хотел бы сделать результат поменьше, но сделать этого не может, так как сообщает минимум, третий хотел бы сделать результат побольше, но сделать этого не может, так как сообщает максимум. Аналогично в других ситуациях равновесия: кто хочет меньше - не может, так как «упирается» в нижнее ограничение; кто хочет больше - не может, так как «упирается» в верхнее ограничение. 
Значит, в общем случае агенты сообщают недостоверную информацию. Спрашивается, можно ли сделать что-то, чтобы побудить их сообщать свои истинные мнения?
Утверждение 5.3. (аналогично утверждению 5.1 для механизмов распределения ресурса).
1) если в равновесии решение оказывается больше, чем мнение некоторых экспертов: x*>ri, то эти эксперты в равновесии будут сообщать минимальную оценку: si*=d;
2) если в равновесии решение оказывается меньше, чем мнение некоторых экспертов: x*<ri, то эти эксперты в равновесии будут сообщать максимум: si *= D;
3) если в равновесии некоторые эксперты сообщают мнение, не равное границам отрезков: 
, то это значит, что принимаемое решение их устраивает: x*=ri.
Опираясь на утверждение 5.3, можно построить равновесие в механизме экспертизы и исследовать его.
Упорядочим экспертов по возрастанию их мнений: 
. В ситуации, если на отрезке [d;D] было принято некоторое решение, то в соответствии с утверждением 5.3 те эксперты, мнения которых расположены левее принятого решения, будут сообщать нижнюю границу, те, кто правее - верхнюю. Значит, вектор равновесных сообщений будет иметь вид:
s*=(d,d,...,d,sk *, D,D,...,D).
Эксперты с «маленькими» номерами хотят сдвинуть равновесие влево и сообщают минимальные заявки; быть может, какой-то эксперт с номером k сообщает sk *из отрезка [d;D], эксперты с большими номерами хотят сдвинуть равновесие вправо и сообщают максимальные заявки.
Равновесное сообщение sk * должно быть таким, чтобы выполнялось: 
.
Данное уравнение позволяет найти вектор равновесных сообщений агентов. Но здесь неизвестно, на какой позиции находится sk: сколько агентов сообщают максимальное значение, а сколько - минимальное, а какой (один или ни одного) эксперт сообщает отличную от границ оценку. Если центр будет это знать, то, подставив sk, решив это уравнение, он сможет найти вектор равновесных сообщений.
В рассмотренном выше примере k-ым экспертом является второй. Он рассчитывает, если первый говорит - 0, а третий - 1, то, что необходимо сказать ему, чтобы итоговое решение было 0,5? Сообщение должно быть 0,5. Такой эксперт называется диктатором. Чтобы найти его номер в общем случае, введем последовательность чисел:
.
Фиксируем число экспертов, сообщающих минимальные мнения, остальные сообщают максимальные. Варьируя число экспертов, которые сообщают минимальные заявки, от 0 до n, получаем убывающую последовательность точек. Точка w0 совпадает с правой границей D, поскольку, если все сообщили правую границу, то в силу условия единогласия такое решение и будет принято. Аналогично, если все сообщили нижнюю оценку d, то решение равно wn = d.
Имеются две последовательности чисел: первая – возрастающая последовательность истинных мнений экспертов { ri }; вторая – убывающая последовательность точек { wi }. Утверждается, что рано или поздно эти последовательности пересекутся. Найдем крайнюю правую точку пересечения этих последовательностей, то есть нужно взять минимум из этих двух чисел, соответствующих одному и тому же номеру, и взять максимум по всем номерам. Следовательно, существует эксперт с номером: 
.
В рассмотренном выше примере: для первого агента – минимум из его мнения и его действия равен r 1, для второго – r 2, для третьего агента происходит «поворот» – минимум равен 1/3. Максимум из этих трех точек равен 0,5. Значит, формула дает номер того эксперта, который будет диктатором. В примере k =2.
Предположим, что используется не исходный – 
– механизм, а экспертам предлагается следующий прямой механизм экспертизы: итоговое мнение будет определяться по вашим сообщениями 
в соответствии с процедурой (где сообщения 
сначала упорядочиваются по возрастанию): 
.
Утверждение 5.4. При использовании прямого механизма экспертизы сообщение достоверной информации является доминантной стратегией экспертов.