на промежутке [– L, L ]
Система функций
(5.1)
ортогональна на промежутке [– L, L ] (см. упражнение в § 3).
Показать, что следует самостоятельно.
Каждой функции , кусочно-непрерывной на промежутке [– L, L ], сопоставим ее ряд Фурье:
. (5.2)
Коэффициенты Фурье , в соответствии с (3.1), определятся формулами
(5.3)
Ряд (5.2) называется тригонометрическим рядом Фурье.
Как отмечалось в § 4, система функций (5.1) является замкнутой. Поэтому для любой кусочно-непрерывной функции ее ряд Фурье (5.2) сходится в среднем к этой функции. Равенство Парсеваля (4.5) в принятых теперь обозначениях примет вид
. (5.4)
Левая часть последнего равенства, как легко видеть, представляет собой удвоенное среднее значение квадрата функции на промежутке [– L, L ].
Частичные суммы
тригонометрического ряда (5.2) называются тригонометрическими полиномами Фурье. Из формулы (3.3) следует, что средняя квадратическая погрешность, возникающая при замене функции ее тригонометрическим полиномом Фурье,
. (5.5)
Сходимость тригонометрического ряда Фурье.
Теорема Дирихле
Функция называется кусочно-монотонной на промежутке , если этот промежуток можно разделить на конечное число частей, на каждой из которых функция монотонна.
Если функция кусочно-непрерывна и кусочно-монотонна на промежутке , то говорят, что на этом промежутке она удовлетворяет условиям Дирихле. Для таких функций справедлива принимаемая нами без доказательства следующая теорема.
Теорема Дирихле. Если функция удовлетворяет условиям Дирихле на промежутке [– L, L ], то ее ряд Фурье (5.2) сходится во всех точках этого промежутка. При этом во внутренних точках промежутка сумма ряда Фурье , если в точке х функция непрерывна; в точках разрыва ; на концах промежутка , где – односторонние пределы в точке а.
|
Если доопределить (или переопределить) функцию , полагая в точках разрыва и f (– L) = = на концах промежутка, то в соответствии с теоремой Дирихле
, (6.1)
где коэффициенты по-прежнему определяются формулами (5.3).
Соотношение (6.1) обычно называется разложением функции в тригонометрический ряд Фурье. Члены ряда (6.1)
(6.2)
называются гармониками. Введем в рассмотрение величины и , связанные с коэффициентами Фурье и соотношениями и . Тогда гармоника (6.2) запишется в виде , где – амплитуда гармоники; – ее частота; – начальная фаза. Множество частот образует дискретный частотный спектр функции на промежутке [– L, L ]. Формула (6.1) примет вид
, (6.3)
т.е. функция, удовлетворяющая условиям Дирихле, представляет собой результат сложения бесконечного числа гармоник. При этом амплитуды и начальные фазы слагаемых гармоник зависят от разлагаемой функции, а частотный спектр одинаков для всех функций, заданных на одном и том же промежутке.
Из равенства Парсеваля (5.4) следует
, (6.4)
где .
Таким образом, сумма квадратов амплитуд гармоник равна удвоенному среднему значению квадрата функции на промежутке [– L, L ]. Соотношение (6.4) часто называют энергетическим равенством.
В силу периодичности гармоник из сходимости ряда (6.3) на промежутке [– L, L ] следует его сходимость всюду, т.е. на всей числовой оси. Суммой этого ряда, очевидно, будет 2 L- периодическая функция , которая на промежутке [– L, L ] совпадает с заданной функцией . Функция , определенная указанным образом, называется периодическим продолжением .
|
Теорема Дирихле (другая формулировка). Если функция удовлетворяет условиям Дирихле на промежутке [– L, L ], то тригонометрический ряд Фурье (6.1) сходится всюду к ее периодическому продолжению.
Замечание. Если функция , заданная для всех , является 2 L- периодической, то ее периодическое продолжение совпадает с самой функцией, и, следовательно, ряд Фурье (6.1) представляет функцию на всей числовой оси. В этом случае можно
получить другие, иногда более удобные по сравнению с (5.3), формулы для коэффициентов Фурье:
, (6.5)
где с – любое число.
Вместо того, чтобы устанавливать справедливость формул (6.5), докажем более общее утверждение: если функция имеет период Т, то интеграл не зависит от а. Действительно,
Выполнив в среднем интеграле замену переменной и воспользовавшись периодичностью подынтегральной функции, получим
Последний интеграл не зависит от а, что, собственно, и требовалось доказать.
Таким образом, интегралы в (6.5) не зависят от с. Полагая в этих формулах , убеждаемся в тождественности выражений (5.3) и (6.5).
Если функция не является периодической, то в формулах (6.5) в подынтегральные выражения вместо функции должно входить ее периодическое продолжение .
Упражнение. Доказать, что гармоники (6.2) являются периодическими функциями с периодом 2 L, т.е. .