Дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения. Рассмотрим задачу Коши для линейного дифференциального уравнения

(18.1)

(здесь ) с начальными условиями

. (18.2)

Переходя в (18.1) к изображениям, в силу линейности преобразования Лапласа будем иметь

. (18.3)

Изображения производных, используя теорему 3 § 16 и начальные условия (18.2), запишем в виде

. (18.4)

Подставив (18.4) в (18.3), после несложных преобразований получим операторное уравнение

, (18.5)

где (характеристический многочлен); .

Из уравнения (18.5) найдем операторное решение

. (18.6)

Решением задачи Коши (18.1), (18.2) является оригинал операторного решения (18.6):

Для задачи Коши в принятых обозначениях можно записать

;

Операторное уравнение имеет вид

разложим операторное решение на простейшие дроби:

С помощью формул, полученных в § 15, получим оригиналы:

Таким образом, решение задачи Коши будет иметь вид

Пример 1. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения с начальными условиями , где .

Решение. Запишем операторное уравнение

Его решение имеет вид

Используя теорему 2 § 16, последовательно найдем:

Пример 2. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения с нулевыми начальными условиями, где – ступенчатая импульсная функция.

Решение. Запишем операторное уравнение

и его решение

Из теоремы 2 § 16 следует

;

в соответствии с теоремой запаздывания (§ 15)

Окончательно,

Пример 3. На точку массой т, прикрепленную к пружине жесткостью с и находящуюся на гладкой горизонтальной плоскости, действует периодически меняющаяся сила . В момент времени t точка подверглась удару, несущему импульс . Пренебрегая сопротивлением, найти закон движения точки, если в начальный момент времени она покоилась в начале координат.

Решение. Уравнение движения запишем в виде

где – упругая сила; – функция Дирака. Решим операторное уравнение

где . При

Если (случай резонанса), то

По теореме запаздывания

Окончательно,

Интеграл (формула) Дюамеля. Рассмотрим задачу Коши для уравнения (18.1) при начальных условиях . Операторное решение в этом случае имеет вид

Пусть весовая функция – оригинал для . тогда по теореме 1 § 16 получим

. (18.7)

Соотношение (18.7) называется интегралом (формулой) Дюамеля.

Замечание. При ненулевых начальных условиях формула Дюамеля непосредственно неприменима. В этом случае необходимо предварительно преобразовать исходную задачу к задаче с однородными (нулевыми) начальными условиями. Для этого введем новую функцию , полагая

(18.8)

где – начальные значения искомого решения .

Как легко видеть, , и следовательно, .

Таким образом, функция – решение уравнения (18.1) с правой частью , полученной в результате подстановки (18.8) в (18.1), при нулевых начальных данных.

Используя (18.7), найдем и .

Пример 4. С помощью интеграла Дюамеля найти решение задачи Коши

с начальными условиями .

Решение. Начальные данные ненулевые. Полагаем, в соответствии с (18.8), . Тогда , и для определения получим уравнение с однородными начальными условиями.

Для рассматриваемой задачи характеристический многочлен , весовая функция . По формуле Дюамеля

Окончательно,

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Задача Коши для системы линейных дифференциальных уравнений в матричной записи имеет вид

, (18.9)

где – вектор искомых функций; – вектор правых частей; – матрица коэффициентов; – вектор начальных данных.

Переходя в (18.9) к изображениям, получим операторную систему

, (18.10)

где – Лаплас-образы векторов искомых функций и правых частей соответственно.

Из (18.10) находим операторное решение

, (18.11)

где ; Е – единичная матрица.

Оригинал операторного решения (18.11) является решением исходной задачи Коши (18.9).

Обозначим весовую матрицу, т.е. матрицу-оригинал для , где Тогда из (18.11) в соответствии с теоремой 1 § 16 будем иметь

. (18.12)

При нулевых начальных условиях

. (18.13)

Соотношение (18.13) представляет собой матричный аналог интеграла Дюамеля.

Пример 5. Найти решение задачи Коши

с начальными условиями .

Решение. Запишем систему и начальные условия в матричной форме:

где . Тогда

;

Окончательно, по формуле (18.12) получим

или

Замечание. Формулы (18.12) и (18.13) имеют большое теоретическое значение, поскольку позволяют исследовать поведение решения системы дифференциальных уравнений в зависимости от начальных данных и правых частей. Однако для практического применения эти формулы мало пригодны, так как зачастую требуют проведения громоздких выкладок, связанных с вычислением обратных матриц, матричных сверток и т.п. Поэтому на практике обычно применяют операторный метод, не переходя к матричной записи системы уравнений, а при решении операторной системы используют конкретные особенности исследуемой задачи.

Пример 6. Решить задачу Коши:

с начальными условиями .

Решение. Перейдем в данной системе к изображениям. С учетом начальных условий будем иметь

Запишем решение операторной системы

Тогда

Приложения

Электрические цепи. Основными элементами электрических цепей являются сопротивления, индуктивности и емкости (конденсаторы). Каждый из этих элементов называются двухполюсником, поскольку он обладает двумя контактами (полюсами), которые соединяются с полюсами других элементов цепи. Электрическое состояние двухполюсника в каждый момент времени определяется двумя величинами: силой тока (током) , проходящего через двухполюсник, и падением напряжения (напряжением) на его полюсах. Для каждого двухполюсника функции и связаны некоторым соотношением, представляющим собой физический закон, управляющий работой двухполюсника.

Для сопротивления имеет место закон Ома

где – сопротивление двухполюсника.

Для индуктивности справедливо соотношение

где – индуктивность двухполюсника.

Для конденсатора выполняется соотношение

где С – емкость конденсатора; – начальный заряд на его обкладках.

В дальнейшем будем считать, что в начальный момент времени цепь была свободна от токов и зарядов, что соответствует задачам включения.

Если ввести операторный ток и операторное напряжение как изображения функций и соответственно, то вышеприведенные уравнения, управляющие работой двухполюсников, перейдут в следующие:

Последние соотношения могут быть записаны в виде операторного закона Ома

где операторное сопротивление (импеданс) в случае активного сопротивления, индуктивности и емкости принято в виде соответственно . Величину, обратную , называют операторной проводимостью (адмитансом) двухполюсника.

При последовательном соединении двух двухполюсников с операторными сопротивлениями и имеем ; и , откуда , и следовательно, импеданс цепи . Аналогично, при параллельном соединении двух элементов с адмитансами и получим , , , откуда , и следовательно, адмитанс цепи .

Таким образом, в задачах включения операторные сопротивления и проводимости цепей рассчитываются по обычным правилам соединения активных сопротивлений. Например, если цепь состоит из последовательно соединенных сопротивления , индуктивности и емкости , шунтированной сопротивлением , то ее импеданс .

Если электрическая цепь с адмитансом включена на эдс , то операторный ток в ней определяется соотношением , .

Как правило, операторная проводимость цепи представляет собой рациональную дробь, полюсы (корни знаменателя) которой расположены в левой полуплоскости , что, как следует из теоремы Хевисайда, гарантирует устойчивость системы, т.е. исключает возможность возникновения в такой системе незатухающих свободных колебаний.

Если эдс является ограниченной функцией времени, то полюсы функции имеют неотрицательные вещественные части, и следовательно (см. замечание 2 к теореме Хевисайда), по истечении достаточно длительного промежутка времени в системе устанавливается стационарный режим, при котором ток

где ; – чисто мнимые полюсы функции с положительными мнимыми частями; – мнимая единица. Здесь, как и ранее, предполагаем, что функция не имеет кратных полюсов.

Представим эдс тригонометрическим рядом Фурье . Тогда

;

; ,

следовательно,

Положим

где – амплитуда гармоники с частотой , b _k – ее начальная фаза; ; g . Тогда

. (19.1)

Функции и называются амплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной характеристиками (ФЧХ) системы.

Будем трактовать функции и , как входной и выходной сигналы соответственно. Из формулы (19.1) следует, что, если на вход системы поступает сигнал с частотой w, амплитудой а и начальной фазой b, то по завершении переходных процессов на выходе формируется сигнал той же частоты w с амплитудой и с фазой, сдвинутой относительно фазы входного сигнала на величину . Таким образом, амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики представляют собой соответственно коэффициент усиления (ослабления) и сдвиг фазы сигнала при его прохождении через систему. То значение w, при котором АЧХ достигает максимума, называется резонансной частотой системы.

Пример. Колебательный контур состоит из последовательно соединенных активного сопротивления , индуктивности и емкости C. Найти резонансную частоту.

Решение. Импеданс контура , его адмитанс . Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики соответственно

;

. (19.2)

Из формулы (19.2) следует, что АЧХ достигает наибольшего значения, если .

Таким образом, колебательный контур резонирует на частоту , наибольший коэффициент усиления сигнала равен , сдвиг фазы на резонансной частоте равен нулю.

Расчет длинных электрических линий. Обозначим – удельные сопротивление, индуктивность и емкость провода соответственно; – коэффициент утечки тока; и – ток и напряжение в точке с координатой х в момент времени . Тогда для участка линии между точками х и по известным законам физики будем иметь

;

. (19.3)

Разделив уравнения (19.3) на D х и перейдя к пределу при D х ® 0, получим систему уравнений в частных производных (телеграфную систему) для определения функций и :

;

. (19.4)

Для завершения постановки задачи систему (19.4) необходимо дополнить начальными и краевыми условиями. В задаче включения начальные условия имеют вид

. (19.5)

Далее примем, что правый конец провода заземлен, а на левом его конце поддерживается заданное напряжение . Тогда краевые условия запишутся в виде

, (19.6)

где – длина линии.

Применяя к системе (19.4) преобразование Лапласа по переменной с учетом начальных условий (19.5), получим операторную систему

, (19.7)

где и – изображения напряжения и тока соответственно. Краевые условия (19.6) перейдут в

, (19.8)

где .

Применяя снова преобразование Лапласа, на этот раз по переменной х, вместо (19.7) запишем алгебраическую систему

; , (19.9)

где ; ; ; – параметр преобразования Лапласа по переменной х.

В дальнейшем, чтобы избежать громоздких выкладок, ограничимся исследованием установившегося режима в линии без искажений, т.е. линии, параметры которой удовлетворяют условию .

Решение системы (19.9) для линии без искажений имеет вид

где .

Возвратимся к оригиналам:

;

. (19.10)

С помощью второго из краевых условий (19.8) найдем

. (19.11)

Из (19.10) и (19.11) следует, что

;

. (19.12)

При отыскании функций и будем использовать теорему разложения Хевисайда, для чего необходимо найти полюсы изображений (19.12). Нули гиперболического синуса определяются из уравнения , откуда и , Следовательно, нули функции – это числа , расположенные в левой полуплоскости . Поэтому, если – ограниченная функция, то, как следует из (19.12), напряжение и ток в установившемся режиме соответственно