Тригонометрического ряда Фурье

Пусть вещественная функция удовлетворяет условиям Дирихле на промежутке [– L, L ]. Запишем ее разложение в тригонометрический ряд Фурье:

, (10.1)

где

. (10.2)

Если в (10.1) выразить и через показательную функцию от мнимого аргумента:

то получим ряд

, (10.3)

где в силу (10.2)

;

Последние три формулы можно объединить:

. (10.4)

Ряд (10.3) с коэффициентами (10.4) называется тригонометрическим рядом Фурье в комплексной форме.

Пример 1. Разложить функцию , где – комплексное число, в ряд Фурье на промежутке .

Решение. Найдем коэффициенты Фурье:

Поскольку , то

= .

Искомое разложение будет иметь вид

, (10.5)

где учтено, что

Применяя к ряду (10.5) равенство Парсеваля

, (10.6)

можно найти сумму еще одного числового ряда. Действительно, в нашем случае

;

Тогда из (10.6) следует

Упражнение 1. Доказать, что

; .

Указание. Положить в (10.5) х = 0 и х = p.

Упражнение 2. Доказать, что при

; .

Глава 2. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

Сходимость интеграла Фурье

Пусть функция определена на всей числовой оси. Считая, что на произвольном конечном промежутке [– L, L ] заданная функция удовлетворяет условиям Дирихле, представим ее тригонометрическим рядом Фурье в комплексной форме:

, (11.1)

где

; (11.2)

– частота k -й гармоники; .

Введя в (11.1) выражения (11.2), получим

. (11.3)

При величина . Правая часть формулы (11.3) аналогична интегральной сумме для функции по переменной w в промежутке . Поэтому можно ожидать, что после перехода в (11.3) к пределу при вместо ряда получим интеграл

. (11.4)

Формула (11.4) называется интегральной формулой Фурье, а ее правая часть – интегралом Фурье.

Рассуждения, с помощью которых получена формула (11.4), не являются строгими и имеют лишь наводящий характер. Условия, при которых справедлива интегральная формула Фурье, устанавливает теорема, принимаемая нами без доказательства.

Теорема. Пусть функция , во-первых, абсолютно интегрируема на промежутке , т.е. интеграл сходится, и, во-вторых, удовлетворяет условиям Дирихле на каждом конечном промежутке (– L, L). Тогда интеграл Фурье сходится (в смысле главного значения) всюду к , т.е. равенство (11.4) выполняется при всех х из промежутка . Здесь, по-прежнему, предполагается, что в точке разрыва значение функции равно полусумме ее односторонних пределов в этой точке.

Преобразование Фурье

Интегральную формулу Фурье (11.4) преобразуем следующим образом. Положим

. (12.1)

Если функция непрерывна и абсолютно интегрируема на всей оси, то функция непрерывна на промежутке . Действительно, так как , то

, (12.2)

и, поскольку интеграл справа сходится, то сходится интеграл слева. следовательно, интеграл в (12.1) сходится абсолютно. Равенство (12.2) выполняется одновременно для всех , поэтому интеграл (12.1) сходится равномерно относительно w. Отсюда и следует, что функция непрерывна (точно так же, как из равномерной сходимости ряда, составленного из непрерывных функций, следует непрерывность его суммы).

Из (11.4) получим

. (12.3)

Комплексная функция , определяемая формулой (12.1), называется преобразованием Фурье или Фурье-образом функции . В свою очередь, формула (12.3) определяет как обратное преобразование Фурье, или прообраз функции . Равенство (12.3) при заданной функции можно рассматривать, как интегральное уравнение относительно функции , решение которого дается формулой (12.1). И, наоборот, решение интегрального уравнения (12.1) относительно функции при заданной дает формула (12.3).

В формуле (12.3) выражение задает, условно говоря, пакет комплексных гармоник с частотами, непрерывно распределенными на промежутке и суммарной комплексной амплитудой . Функция называется спектральной плотностью. Формулу (12.2), записанную в виде

можно трактовать, как разложение функции в сумму пакетов гармоник, частоты которых образуют сплошной спектр, распределенный на промежутке .

Равенства Парсеваля. Пусть и – Фурье-образы вещественных функций и соответственно. Тогда

; (12.4)

, (12.5)

т.е. скалярные произведения и нормы функций являются инвариантами преобразования Фурье. Докажем это утверждение. по определению скалярного произведения имеем . Заменив функцию ее выражением (12.3) через Фурье-образ , получим

В силу (12.1)

Поэтому , т.е. формула (12.4) доказана. Формула (12.5) получается из (12.4) при .

Косинус- и синус-преобразования Фурье. Если вещественная функция четна, то ее Фурье-образ, который здесь будем обозначать , также является вещественной четной функцией. Действительно,

Последний интеграл, вследствие нечетности подынтегральной функции, обращается в нуль. Таким образом,

. (12.6)

Здесь использовано свойство (7.1) четных функций.

Из (12.6) следует, что функция вещественна и четным образом зависит от w, так как w входит в (12.6) только через косинус.

Формула (12.3) обратного преобразования Фурье в этом случае дает

= .

Так как и – соответственно четная и нечетная функции переменной w, то

. (12.7)

Формулы (12.6) и (12.7) определяют косинус-преобразование Фурье.

Аналогично, если вещественная функция нечетна, то ее преобразование Фурье , где – вещественная нечетная функция от w. При этом

; (12.8)

. (12.9)

Равенства (12.8), (12.9) задают синус-преобразование Фурье.

Заметим, что в формулы (12.6) и (12.8) входят значения функции только для . Поэтому косинус- и синус-преобразования Фурье можно применять и к функции, определенной на полубесконечном промежутке . В этом случае при интегралы в формулах (12.7) и (12.9) сходятся к заданной функции, а при к ее четному и нечетному продолжениям соответственно.