Тот факт, что функция 
является Фурье-образом функции 
, будем обозначать в дальнейшем одним из следующих способов: 
.
Свойства преобразования Фурье:
1. Теорема линейности. 
, где 
. Это свойство сразу следует из определения (12.1) и линейности операции интегрирования.
2. Теорема подобия. 
, где 
. Обозначив 
, получим
3. Теорема смещения. 
, где 
. Введя замену 
, получим
.
Следствие.
, (13.1)
где 
. Действительно,
.
4. Теорема о свертке. Напомним, что сверткой абсолютно интегрируемых функций 
и 
называется функция
.
Фурье-образ свертки функций f и g равен произведению их Фурье-образов, умноженному на 
: 
.
Так как по определению
,
то, выполнив во внутреннем интеграле замену 
, получим
=
= 
= 
,
что и требовалось доказать.
5. Теорема об образе производной. Пусть функция 
и ее производная 
абсолютно интегрируемы на промежутке 
. По формуле Ньютона – Лейбница
.
Так как производная 
интегрируема на всей оси, интеграл в правой части последнего равенства имеет конечный предел при 
. Следовательно, существует конечный предел 
. При этом 
, ибо в противном случае функция 
была бы неинтегрируемой на промежутке 
. Точно также доказывается, что 
.
Введем в рассмотрение Фурье-образ производной
.
Выполнив интегрирование по частям, получим
.
Так как внеинтегральный член равен нулю, то
.
Таким образом, операции дифференцирования функции 
соответствует операция умножения ее Фурье-образа на множитель 
. Аналогично, если функция имеет абсолютно интегрируемые производные до n- го порядка включительно, то
, 
.
Следствия. 1. Обыкновенное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами преобразованием Фурье переводится в линейное алгебраическое уравнение.
2. Линейное уравнение в частных производных с постоянными коэффициентами и с двумя независимыми переменными преобразованием Фурье по одной из переменных переводится в обыкновенное линейное дифференциальное уравнение.
Пример 1. Доказать, что
, (13.2)
где 
.
Решение. Положим
Тогда
Таким образом,
,
и по теореме о свертке
.
Пример 2. Найти решение уравнения
(13.3)
при 
, удовлетворяющее начальному условию
. (13.4)
Замечание. Уравнение (13.3) называется уравнением теплопроводности. Уравнениями такого вида описываются одномерные процессы диффузии, переноса тепла и т.п.
Решение. Применим к уравнению (13.3) преобразование Фурье. Для этого, умножив обе части уравнения на 
, проинтегрируем его по х от 
до 
. Тогда
или
, (13.5)
где 
– Фурье-образ функции 
.
Здесь использовалась формула для Фурье-образа производной второго порядка:
.
Равенство (13.5) – это обыкновенное линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно функции 
переменной t, где w – параметр.
Переходя к Фурье-образам в равенстве (13.4), получим начальное условие для уравнения (13.5):
. (13.6)
Решением задачи Коши (13.5), (13.6) является функция
.
С помощью (12.3) находим 
– прообраз функции 
:
. (13.7)
Последний интеграл в (13.7) равен 
. Поэтому
.
По теореме о свертке
,
или
. (13.8)
Решение уравнения теплопроводности, записанное в виде (13.8), называется интегралом Пуассона.
Пример 3. Найти решение волнового уравнения
, (13.9)
удовлетворяющее начальным условиям
. (13.10)
Замечание. Задача Коши (13.9),(13.10) является математической моделью одномерных волновых процессов в сплошных безграничных средах. Поле возмущений в среде, выведенной из равновесного состояния, описывается функцией 
, физический смысл которой определяется спецификой рассматриваемой задачи. В задаче о малых поперечных колебаниях струны 
– это отклонение струны от ее равновесного положения, функции j(х) и 
задают соответственно форму струны и распределение скоростей ее точек в начальный момент времени. Константа 
, где 
и r – натяжение и плотность струны в положении равновесия. В задачах акустики 
– скорость возмущенного движения в точке 
в момент времени 
; 
– скорость звука в невозмущенной среде и т.д.
Решение. Преобразуя по Фурье уравнение (13.9) и начальные условия (13.10), получим задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка:
где w – параметр.
Решение задачи имеет вид
Используя (13.1) и (13.2), получим формулу Эйлера – Даламбера
(13.11)
Для выяснения физического смысла полученного решения преобразуем формулу (13.11). Положим
.
Тогда
. (13.12)
При 
возмущение 
сохраняет постоянное значение 
, если переменные 
и 
связаны зависимостью: 
. Иными словами, возмущенное состояние 
переносится в положительном направлении оси абсцисс со скоростью 
. Поэтому говорят, что функция 
определяет бегущую волну, перемещающуюся вправо со скоростью а. Аналогично, функция 
задает волну, распространяющуюся влево с той же скоростью а. Таким образом, выяснен физический смысл постоянной величины а в уравнении (13.9): а – это скорость распространения возмущений в среде.
Из формулы (13.12) следует, что возмущение в точке х в момент времени 
есть результат сложения волн 
и 
, вышедших в момент времени 
из точек с координатами 
и 
соответственно.
Итак, при весьма общих предположениях установлено следующее:
1. Произвольную функцию можно представить в виде «суммы» гармоник; если 
задана на конечном интервале (или периодическая), то эта сумма представляет собой ряд Фурье; если задана на всей числовой оси (но непериодическая), то эта сумма – интеграл Фурье. С точки зрения приложений, это означает, что самые разнообразные физические зависимости, скажем, давления, тока, напряжения и т.д. от времени можно представить в виде линейной суперпозиции гармонических колебаний.
2. В представлении формулы 
в виде ряда или интеграла Фурье естественно возникает ее спектр, который однозначно определяется по функции и который, в свою очередь, однозначно определяет саму функцию 
.
3. Результаты спектрального анализа, т.е. процесса нахождения спектра той или иной зависимости, используются при исследовании линейных систем, так как в этом случае достаточно изучить поведение системы при воздействии на нее гармонических колебаний, а затем просуммировать результаты этих воздействий с учетом спектра рассматриваемого (уже произвольного) воздействия.
Упражнение. Доказать, что, если на всей оси функция y(х) дифференцируема, а j(х) – дважды дифференцируема, то функция (13.11) действительно удовлетворяет уравнению (13.9) и начальным условиям (13.10).