Основные теоремы операционного исчисления

Свертка оригиналов. Сверткой оригиналов и называется функция

Функции f (t) и g (t) называются компонентами свертки.

Найдем для примера свертку произвольного оригинала и единичной функции Имеем . Так как при то

. (16.1)

Доказать, что свертка оригиналов – оригинал и что свертка коммутативна, т.е. , следует самостоятельно.

Теорема 1. Если и , то

Действительно, по определению (14.3) имеем

где D – треугольная область, задаваемая системой неравенств

Изменив порядок интегрирования в двойном интеграле, получим

Введем вместо t новую переменную . Тогда

что и требовалось доказать.

Пример 1. Найти оригинал , если его Лаплас-образ .

Решение. Представим данный Лаплас-образ в виде произведения двух изображений, для которых известны оригиналы:

Так как

то по теореме 1 имеем

Упражнение 1. Доказать, что свертка линейна по каждой компоненте:

где а и b – постоянные.

Упражнение 2. Найти свертку функций и .

Интегрирование и дифференцирование оригиналов. Для интегрирования и дифференцирования оригиналов справедливы следующие теоремы.

Теорема 2. Если то .

Для доказательства используем формулу (16.1) и теорему 1. Тогда

Теорема 3. Если и – оригиналы и , то

. (16.2)

В самом деле, исходя из формулы Ньютона – Лейбница, в силу (16.1) будем иметь

Тогда по теореме 1

Отсюда , что и требовалось доказать.

Применив формулу (16.2) дважды, получим

и т.д. В частности, если , то , т.е. в этом случае дифференцирование оригинала сводится к умножению его изображения на p.

Дифференцирование и интегрирование изображений. Без доказательства примем следующие свойства преобразования Лапласа:

1. Если – оригинал с показателем роста , то его изображение имеет в области производные любых порядков.

2. При том же условии пределы, производные и интегралы от в области можно находить, выполняя соответствующие операции под знаком интеграла (14.3).

Теорема 4. Если , то , т.е. дифференцирование изображения сводится к умножению оригинала на . Действительно, дифференцируя (14.3) по параметру p, получим

Справа стоит интеграл Лапласа для функции , следовательно,

что и требовалось доказать.

Применив несколько раз теорему 4, получим

Теорема 5. Если – оригиналы и , то

т.е. интегрирование изображения в указанных пределах сводится к делению оригинала на . Так как в силу (14.3) имеем , то

Поскольку при и , то

Рассмотрим функции

По теореме 4 имеем

Так как , то по теореме 5

Точно так же получим

Применяя теорему 2, найдем изображение интегрального синуса

Следствия из теорем 1-5 приведем с доказательствами.

Следствие 1. Если сходится интеграл

, (16.3)

то

. (16.4)

Из сходимости интеграла (16.3) следует, что изображение непрерывно в замкнутой области . Переходя к пределу в (14.3) при , приходим к требуемому результату.