Рассмотрим элементы теории рядов Фурье для комплексных функций, т.е. функций вида 
, где i – мнимая единица, 
– вещественные функции вещественного аргумента. Обозначим символом 
множество комплексных кусочно-непрерывных функций, определенных на промежутке 
.
Скалярным произведением функций 
назовем комплексное число
,
где 
– функция, комплексно сопряженная с функцией 
.
свойства скалярного произведения комплексных функций следующие:
1. 
2. билинейность
, 
.
Доказать свойства 1 и 2 предлагаем самостоятельно.
Как и ранее, функции f и g будем называть ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.
Определение нормы функции оставим прежним, так что
.
Свойства нормы, претерпевшие изменения при переходе от вещественных функций к комплексным, следующие:
1. теорема косинусов. 
или в более общем виде
. (9.1)
2. Обобщенная теорема Пифагора. Если 
, то
.
Доказать свойства 1 и 2 следует самостоятельно.
3. Неравенство Коши – Буняковского. Если функции 
и 
непрерывны, то 
.
В самом деле, если 
, то 
на 
, и доказываемое неравенство выполняется. Пусть 
. Число 
очевидно, не отрицательно. С другой стороны, по формуле (9.1), где 
и 
, имеем
.
Таким образом, 
, а так как 
, то 
, что и требовалось доказать.
Пусть теперь система комплексных функций
(9.2)
ортогональна на промежутке 
. Сопоставим функции 
ее ряд Фурье
(9.3)
где коэффициенты Фурье
.
Введем обозначения: 
– частичная сумма ряда Фурье; 
– произвольная линейная комбинация функций 
где 
.
Тогда, так же, как для вещественных функций (см. § 3), выполняется неравенство
(9.4)
где 
, причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда 
, т.е. среди всех функций 
функция 
дает наилучшее среднеквадратическое приближение к функции 
.
Сходимость ряда в среднем и замкнутость системы функций определяются точно так же, как в § 3:
а) если для некоторой функции 
выполняется равенство Парсеваля
, (9.5)
то ряд (9.3) сходится в среднем к , т.е. 
;
б) ортогональная система функций (9.2) называется замкнутой на промежутке 
, если равенство Парсеваля выполняется для каждой функции из 
.
Введем в рассмотрение систему комплексных функций
. (9.6)
Свойства системы функции (9.6) следующие:
1. 
.
2. Функции 
являются 2 L -периодичными: 
.
3. Система функций (9.6) ортогональна на промежутке [– L, L ]. Действительно, при 
.
Здесь использована формула 
.
4. 
.
Ряд Фурье для функции 
по системе функций (9.6) имеет вид
, (9.7)
где коэффициенты Фурье
. (9.8)
Система функций (9.6) замкнута на [– L, L ] (принимаем без доказательства), поэтому для нее справедливы следующие утверждения:
а) ряд (9.7) сходится в среднем к ,
б) для любой функции из 
выполняется равенство Парсеваля 
,
в) среднеквадратическая погрешность, возникающая при замене функции частичной суммой 
ее ряда Фурье, 
.
Теорема Дирихле. Если вещественная и мнимая части функции удовлетворяют на промежутке [– L, L ] условиям Дирихле, то функция 
является суммой своего ряда Фурье:
. (9.9)
При этом предполагается, что действуют прежние соглашения относительно значений функции в точках разрыва и на концах промежутка (см. § 3).
Упражнение 1. Доказать справедливость формулы (9.4). Доказать, что из (9.4) следует неравенство Бесселя 
.
Упражнение 2. Доказать справедливость утверждений 1, 2 и 4.
Комплексная форма