Показательные, логарифмические уравнения и неравенства.

Часть 1.

Вариант 1

1. Вычислите .

2. Найдите область определения функции у = lg .

3. Решите уравнения:

а) log₂(4 х - 1)= 3;

б) log₇2 = 1-log₇(5 - х).

4. Решите неравенства:

а) log₅(1 - 4 х) ≤ 2;

б) log (2 х + 3)> -3.

Вариант 2

1. Вычислите .

2. Найдите область определения функции у = lg .

3. Решите уравнения:

а) log₄(2 х - 1)= 2;

б) log₂(2 х + 3) =log ₂4 + 1.

4. Решите неравенства:

а) log₃(2 - 3 х) ≥ 2;

б) (х + 1)> -2.

Вариант 3

1. Вычислите .

2. Найдите область определения функции у = lg .

3. Решите уравнения:

а) log₅(6 х - 1)= 2;

б) log₃(4 х + 5) =log₃9 + 1.

4. Решите неравенства:

а) log₄(2 - 5 х) ≥ 3;

б) (х - 1)> -1.

Вариант 4

1. Вычислите .

2. Найдите область определения функции у = lg .

3. Решите уравнения:

а) log₃(7 х - 2)= 2;

б) log₇(2 х + 5) =log₇49 + 2.

4. Решите неравенства:

а) log₄(5 - х) ≥ 0;

б) (3 х - 1)> - 1.

Вариант 5

1. Вычислите .

2. Найдите область определения функции у = lg .

3. Решите уравнения:

а) (х - 2)= - 2;

б) log₅(2 х - 3) =log₅25 - 2.

4. Решите неравенства:

а) log₉(3 - х) ≤ 0;

б) (3 х - 1) < - 1.

Вариант 6

1. Вычислите .

2. Найдите область определения функции у = lg .

3. Решите уравнения:

а) (х - 2)= - 3;

б) log₈(2 х - 3) =log₈1 - 1.

4. Решите неравенства:

а) log₄(8 - х) ≤ 2;

б) (2 х - 1) < 0.

Вариант 7

1. Вычислите .

2. Найдите область определения функции у = lg .

3. Решите уравнения:

а) (2 х - 1)= - 4;

б) log₃(х - 3) =log₃27 - 1.

4. Решите неравенства:

а) log₅(5 - х) ≤ 2;

б) (х + 3) < - 1.

Вариант 8

1. Вычислите .

2. Найдите область определения функции у = lg .

3. Решите уравнения:

а) (х - 2)= 0;

б) log₃(х + 9) =log₃81 - 3.

4. Решите неравенства:

а) log₅(х - 6) ≤ 2;

б) (х + 5)> - 2.

Вариант 9

1. Вычислите .

2. Найдите область определения функции у = lg .

3. Решите уравнения:

а) log₈(5 х - 2)= 1;

б) log₆(х + 5) =log₆36 + 1.

4. Решите неравенства:

а) log₅(3 - х) ≥ 0;

Часть 2.

Вариант 1/5

1. Дайте определение логарифма данного числа по данному основанию.

4. Найдите х, если

5. Вычислите .

Вариант 2/6

1. Сформулируйте основные свойства логарифмов.

2. .

3. Вычислите:

4. Найдите х, если

5. Вычислите .

Вариант 3/7

1. Какая функция называется логарифмической? Сформулируйте основные свойства логарифмической функции при а>0.

2. .

4. Найдите х, если

5. Вычислите .

Вариант 4/8/9

1. Запишите основное логарифмическое тождество.

2. .

3. Вычислите:

4. Найдите х, если

5. Вычислите .

Часть 3. Вариант 1-5 1.

= 2^{3-2 х}; 2. 7 ^х+ ² - 14∙7 ^х= 5; 3. 49 ^х- 8∙7 ^х + 7 = 0; 4.

> 9^{2 х -1}; 5. 10∙5 ^х- ¹ + 5 ^х ⁺¹ < 7.

Часть 3. Вариант 6-9 1.

= 125^{3-4 х}; 2. 2 ^х+ ⁴ - 2 ^х= 120; 3. 36 ^х- 4∙6 ^х - 12 = 0; 4.

< 8 ^х ^-1; 5. 8∙2 ^х- ¹ - 2 ^х > 48.

Ответы «Логарифмы»

№ задания	Вариант	Вариант	Вариант	Вариант	Вариант	Вариант	Вариант	Вариант	Вариант
	5	4	7	3	8	11	12	13	9
	(-∞;- ) (1; ∞)	(-∞;-2) (;∞)	(-∞;- ) (0,4;∞)	(-∞;-3,5) (5;∞)	(- ;7)	(;2,5)	(-∞;-3) (;∞)	(-∞;-1,5) (;∞)	(-∞;-0,5) (9;∞)
3 а)		8,5					8,5
3 б)		2,5	5,5					-6
4 а)	[-6; )	(-∞;- ]	(-∞;-12,4]	(-∞;4]	[2;3)	[-8;8)	[-20;5)	(6;31]	(-∞;2]
4 б)	(-1,5;2,5)	(-1;24)	(1; 7)	(; )	(;∞)	(1; ∞)	(6; ∞)	(-5;76)	(1;17)

ОТВЕТЫ

«РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ»

№ варианта	Задание 1	Задание 2	Задание 3	Задание 4	Задание 5
		-1	1; 0	х < - 4	х < 0
				х >	х > 4

ОТВЕТЫк зачёту «Свойства логарифмов и логарифмической функции»

№ варианта Задание № Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4

1. Логарифмом числа в по осно-ванию а называ-ется показатель степени, в кото-рую нужно воз-вести основание а, чтобы полу-чить число в. =в. 1) 2) 3) 4) 5) Функцию, задан- ную формулой называют лога-рифмической функцией с ос-нованием а. 1) D( 2) Е( = . 3) Логарифми- ческая функция на всей области определения возрастает (при а>0) или убывает (при 0<а<1).

2. ( (-1;4) (-∞;-5) ( ∞) (-∞;-1) ( ∞)

3. а) 4; б) -4; в) 15; г) 12; д) 1,5. а) -2; б) 4; в) 125; г) 75; д) . а) 2; б) -2; в) 3; г) 20; д) 8. а) -5; б) 3; в) 7; г) ; д) 48.

4.

5.

Контрольная работа №8

Прямые и плоскости в пространстве.

Вариант 1

1. Что такое стереометрия.

2. Какие прямые в пространстве называются параллельными?

3. Дана плоскость β и прямые а. в и с. Известно, что одна из данных прямых параллельна плоскости β. Назовите эту прямую, если прямая а параллельна прямой с, прямые в и с пересекаются, а прямая с лежит в плоскости Сделайте рисунок и прокомментируйте его с помощью математических знаков.

4. Через точки А, В и середину М отрезка АВ проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость α в точках А₁, В_1,М₁ соответственно. Найти длину отрезка ММ₁, если АА₁=13м, ВВ₁=7м, причём отрезок АВ не пересекает плоскость α.

5. Через конец А отрезка АВ проведена плоскость. Через конец В и точку С этого отрезка проведены параллельные прямые В₁ и С₁. Найдите длину отрезка ВВ₁, если СС₁=21 см, АС: ВС = 3: 4.

Вариант 2

1. Назовите основные фигуры в пространстве.

2. Какие прямые в пространстве называются скрещивающимися?

3. Дана плоскость β и прямые а, в и с. Известно, что одна из данных прямых параллельна плоскости β. Назовите эту прямую, если прямая в параллельна прямой с, прямые а и в пересекаются, а прямая с лежит в плоскости Сделайте рисунок и прокомментируйте его с помощью математических знаков.

4. Через точки А, В и середину М отрезка АВ проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость α в точках А₁, В_1,М₁ соответственно. Найти длину отрезка ММ₁, если АА₁=3м, ВВ₁=17м, причём отрезок АВ не пересекает плоскость α.

5. Через конец А отрезка АВ проведена плоскость. Через конец В и точку С этого отрезка проведены параллельные прямые В₁ и С₁. Найдите длину отрезка ВВ₁, если

СС₁=26 см, АВ: АС = 15: 13.

Вариант 3

1. Сформулируйте теорему о трёх точках?

2. Что значит: прямая и плоскость параллельны?

3. Дана плоскость β и прямые а, в и с, причём две из трёх данных прямых параллельны. Назовите параллельные прямые, если прямая а лежитв плоскости β, прямая в параллельна плоскости β, а прямая с пересекает плоскость β.Сделайте рисунок и прокомментируйте его с помощью математических знаков.

4. Через концы отрезка АВ и его середину М отрезка АВ проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость α в точках А₁, В₁и М₁. Найти длину отрезка ММ₁, если отрезок АВ не пересекает плоскость α и если АА₁=10м, ВВ₁=14м.

5. Через конец А отрезка АВ проведена плоскость. Через конец В и точку С этого отрезка проведены параллельные прямые В₁ и С₁. Найдите длину отрезка ВВ₁, если

АВ=8 см, АС: СС₁ = 2: 3.

Вариант 4

1. Сформулируйте теорему о прямой и точке.

2. Какие плоскости называются параллельными?

3. Дана плоскость β и прямые а, в и с, причём две из трёх данных прямых параллельны. Назовите параллельные прямые, если прямая а лежитв плоскости β, а прямые в и с пересекают плоскость β.Сделайте рисунок и прокомментируйте его с помощью математических знаков.

4. Через концы отрезка АВ и его середину М отрезка АВ проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость α в точках А₁, В₁и М₁. Найти длину отрезка ММ₁, если отрезок АВ не пересекает плоскость α и если АА₁=12м, ВВ₁=8м.

5. Через конец А отрезка АВ проведена плоскость. Через конец В и точку С этого отрезка проведены параллельные прямые В₁ и С₁. Найдите длину отрезка ВВ₁, если

СС₁=14 см, АВ: ВС = 10: 3.

Ответы

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

Стереометрия– это раздел геометрии, в ко-тором изучаются фигу-ры в пространстве.

Основными фигурами в пространстве являются точка, прямаяиплос-кость.

Через три точки, не ле-жащие на одной пря-мой, можно провести плоскость, и притом только одну.

Через прямую и не ле-жащую на ней точку можно провести плос-кость, и при том только одну.

Две прямые в пространс-тве называются парал-лельными, если они ле-жат в одной плоскости и не пересекаются.

Прямые, которые не пе-ресекаются и не лежат в одной плоскости, назы-ваются скрещивающи-мися.

Прямая и плоскость параллельны – значит, они не пересекаются, то есть не имеют общих точек.

Две плоскости называ-ются параллельными, если они не пересека-ются, то есть не имеют общих точек.

; ; ;

;

а и в;

;

в и с

;

АВВ₁А₁ –тра- пеция, т.к.

ММ₁- средняя линия;

АВВ₁А₁ –тра- пеция, т.к.

ММ₁- средняя линия;

АВВ₁А₁ –тра- пеция, т.к.

ММ₁- средняя линия;

АВВ₁А₁ –тра- пеция, т.к.

ММ₁- средняя линия;

_∆АВВ₁∞ _∆АСС₁

Контрольная работа №9

Векторы.

Часть 1.

Вариант № 1

1. Что называется вектором в пространстве?

2. Дайте определение действий над векторами: скалярного произведения.

3. Дайте определение координат вектора с началом в точке А₁(х₁; у₁; z₁) и концом в точке А₂(х₂; у₂; z₂).

4. Какие вектора называются равными.

5. Какие вектора называются противоположно направленными?

Вариант № 2

1. Какие вектора называются коллиниарными?

2. Что такое абсолютная величина вектора?

3. Какие вектора называются одинаково направленными?

4. Дайте определение действий над векторами: сложения и умножения.

5. Что такое нулевой вектор?

Часть 2.

Вариант № 1

1. Сторона равностороннего треугольника равна 12 см. Найти площадь его ортогональной проекции на плоскость, которая образует с плоскостью .

2. Даны точки А(0;0;7), В(1;4;2), С(0;4;5), D(4;2;0). Какие из этих точек лежат:

1) в плоскости ху; 2) на оси z; 3) в плоскости уz.

3. Докажите, что четырёхугольник АВСD с вершинами в точках А(0;2;-3),

В(-1;1;1), С(2;-2;-1), D(3;-1;-5).

5. Даны точки А(1;-1;3), В(3;-1;1) и С(-1;1;3). Вычислите угол между векторами

Вариант № 2

1. Дан прямоугольный треугольник с катетами 6 и 9 см. Найти площадь его ортогональной проекции на плоскость, которая образует с плоскостью .

2. Даны точки А(0;6;0), В(0;3;3), С(3;4;8), D(1;0;9). Какие из этих точек лежат:

1) в плоскости хz; 2) на оси у; 3) в плоскости уz.

3. Докажите, что четырёхугольник АВСD с вершинами в точках А(2;1;3),

В(1;0;7), С(-2;1;5), D(-1;2;1).

5. Даны точки А(1;3;0), В(2;3;-1) и С(1;2;-1). Вычислите угол между векторами

ОТВЕТЫ

№ варианта № задания	Вариант № 1	Вариант № 2
1.	Вектором в пространстве называется направленный отрезок.	Два ненулевых вектора называются коллиниарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
2.	Скалярным произведением векторов называется число а₁в₁+ а₂в₂+ а₃в₃. ∙ = ∙ .	Абсолютной величиной вектора .
3.	Координатами вектора с началом в точке А₁(х₁; у₁; z₁) и концом в точке А₂(х₂; у₂; z₂) называются числа х₂- х₁; у₂- у₁; z₂- z₁.	называются одинаково направленными, если полупрямые АВ и СD одинаково направлены.
4.	Вектора называются равными, если они сонаправлены и их длины равны (если они совмещаются параллельным переносом). У равных векторов соответствующие координаты равны.	Суммой векторов а₁;а₂;а₃) и ₁; ₂; ₃ ) называют вектор ₁; ₂; ₃). Произведением вектора (а₁; а₂; а₃)на число λ называется вектор λ = Если λ>0,то направление совпадает с направлением вектора ; если λ<0, то направление противоположно направлению вектора .
5.	называются противоположно направленными, если полупрямые АВ и СD противоположно направлены.	Любая точка в пространстве может рассматриваться как вектор. Такой вектор называется нулевым.

ОТВЕТЫ

№ варианта № задания

Вариант № 1

Вариант № 2

= = = 54(см²)

= 13,5(см²)

1) в ху: D; 2) на оси z: А; 3) в уz: А; С.

1) в хz: D; 2) на оси у: А; 3) в уz: А; В.

Воспользуемся формулами для координат середины отрезка в пространстве.

АС: х=

у=

ВD: х=

у=

Координаты середины отрезков АС и ВD совпадают, поэтому диагонали АС и ВD четырёхугольника АВСD пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, следовательно четырёхугольник АВСD – параллелограмм.