Линейные дифференциальные уравнения I-го порядка




Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка называется

линейным, если искомая функция у и её производная

входят в это уравнение в первой степени.

(9.9)

Уравнение (9.9) – линейное дифференциальное уравнение первого порядка.

Уравнение (9.9) можно интегрировать различными методами. Рассмотрим метод, основанный на применении подстановки Эйлера-Бернулли , с помощью которой линейное уравнение может быть сведено к последовательному интегрированию двух уравнений с разделяющимися переменными.

Подставим , в (9.9):

.

Сгруппируем слагаемые, содержащие u, и вынесем u за скобку:

(9.10)

Одну из неизвестных функций можно выбрать произвольно. Выберем функцию v так, чтобы скобка обратилась в нуль, т.е. положим

(9.11)

Тогда уравнение (9.10) примет вид:

(9.12)

Из уравнения (9.11) найдём функцию v(x), затем значение v подставим в уравнение (9.12). Решив его, найдём u. Найденные функции u и v подставим в и получим общее решение линейного уравнения.

Пример 72. Найти общее решение линейного уравнения: .

Решение. Ищем общее решение с помощью подстановки Эйлера-Бернулли: .

Тогда, .Подставляем найденные значения y и в данное уравнение: . Группируем слагаемые, содержащие общий множитель , который выносим за скобку:

и полагаем (*). Остается: (**). Находим из (*):

Подставляем (**): .

Решаем это уравнение:

.

Окончательно получаем: - искомое общее решение.

Ответ: .

 

Дифференциальные уравнения II-го порядка

Определение. Дифференциальным уравнением II-го порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и её первую и вторую производные.

Общий вид дифференциального уравнения II-го порядка:

F (х, у, у', у'') = 0.

Если уравнение разрешено относительно у'', то у'' = f (х, у, у').

Общее решение дифференциального уравнения II-го порядка содержит 2 произвольные постоянные, а задачу Коши записывают следующим образом:

Рассмотрим один из типов дифференциальных уравнений II-го порядка, допускающих понижение порядка: у'' = f (х), в котором правая часть уравнения зависит только от х.

Уравнения этого типа решают последовательным интегрированием:

Пример 73. Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка .

Решение. Найдём , проинтегрировав обе части данного уравнения:

. Используя свойства интеграла можно

записать:

.

В первом интеграле имеем сложную степенную функцию, а второй – даёт тангенс того же аргумента: , или

.

Для нахождения функции у ещё раз интегрируем обе части полученного уравнения:

- общее решение.

 

Линейные дифференциальные уравнения II-го порядка с постоянными коэффициентами

Линейное дифференциальное уравнение II-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

, (9.13)

где p, q – числа, -некоторая функция.

Уравнение (9.14)

называется линейным однородным дифференциальным уравнением II-го порядка (ЛОДУ), соответствующим уравнению (9.13). А уравнение (9.13) в случае -линейным неоднородным дифференциальным уравнением (ЛНДУ).



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-02-16 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: