Теорема( о конструкции общего решения ЛНДУ II-го порядка с постоянными коэффициентами).




Пусть - общее решение ЛОДУ , - частное решение соответствующего ЛНДУ, тогда функция является общим решением ЛНДУ.

1)Для нахождения общего решения ЛОДУ составляется уравнение

, (9.16)

которое называется характеристическим. Оно получается заменой в ЛОДУ (9.14) у'' на , y' на k, y на 1.

Уравнение (9.6), будучи квадратным уравнением, может иметь либо действительные различные корни, либо действительные равные, либо комплексные сопряженные.

Общее решение однородного уравнения зависит от вида корней характеристического уравнения.

 

  Корни характеристического уравнения Общее решение ЛОДУ
Действительные различные корни (D>0, D – дискриминант характеристического уравнения)
Действительные равные корни (D=0)
  Комплексные сопряженные корни (D<0)  

Пример 74. Найти общее решение уравнения

Решение. Составляем характеристическое уравнение, заменив у'' на , y' на k, y на 1 : .

Находим его корни .

Корни характеристического уравнения действительные различные,

следовательно, общее решение имеет вид: .

Пример 75. Найти общее решение уравнения: .

Решение. Составляем характеристическое уравнение: .

Решаем его: .

- корни характеристического уравнения действительные, равные, следовательно, общее решение имеет вид:

Пример 76. Найти общее решение уравнения: .

Решение.Составляем характеристическое уравнение: .

Решаем его: ( - мнимая единица, поэтому ).

- корни характеристического уравнения комплексные сопряженные a=3, b=1, следовательно, общее решение имеет вид:

.

2) Перейдем к нахождению частного решения ЛНДУ.

В случае, когда - правая часть имеет специальный вид , частное решение такого уравнения может быть найдено по виду методом неопределённых коэффициентов.

Рассмотрим этот метод.

а) Правая частьЛНДУ (9.13) имеет вид: ,

где - заданный многочлен степени n, a - заданное действительное число. В этом случае имеем уравнение . Его частное решение нужно искать в виде:

,

где - многочлен степени n с неизвестными коэффициентами, а

r – кратность корня a характеристического уравнения( если a - не корень, то r= 0).

Укажем для справки общий вид многочленов нулевой, первой, второй и

третьей степеней:

Пример 77. Найти общее решение уравнения (*).

Решение. 1) Находим сначала общее решение соответствующего однородного уравнения: .

Составляем характеристическое уравнение: и находим его корни . Так как корни действительные и различные, то общее решение однородного уравнения имеет вид: .

2) Теперь найдём частное решение неоднородного уравнения . Его правая часть , т.е. имеет вид . Роль многочлена выполняет (27х – 39) –многочлен первой степени; не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения, значит, ищем в виде:

. Здесь - многочлен первой степени с неизвестными коэффициентами А и В, которые требуется найти. Для определения А и В дифференцируем дважды : ;

.

Подставляем найденные значения в данное неоднородное уравнение:

Сократив на , получим равенство двух многочленов:

,

(**)

Известно, что два многочлена одной и той же степени равны, если они имеют равные коэффициенты при одинаковых степенях х. Приравнивая эти коэффициенты в левой и правой частях равенства (**), получим систему уравнений для определения неизвестных коэффициентов А и В.

При ; при . Подставив во второе уравнение значение А ,получим:

Найдя А и В , запишем вид частного решения : . Тогда общее решение уравнения равно .

Пример 78. Найти общее решение уравнения: .

Решение. Общее решение данного ЛНДУ ищем в виде: , где - общее решение соответствующего ЛОДУ; - частное решение ЛНДУ.

1)Выпишем соответствующее ЛОДУ: и находим его общее решение . Характеристическое уравнение: имеет корни , следовательно, .

2)Находим частное решение ЛНДУ : .

Его правая часть имеет вид: , т.е. представлена в виде произведения числа (-16), являющегося многочленом нулевой степени ( на экспоненту, у которой коэффициент в показателе степени является двукратным корнем характеристического многочлена: . Тогда ищем в виде: Для определения коэффициента необходимо и его производные подставить в левую часть уравнения. Найдём и :

Подставим выражение для , ', '' в данное уравнение:

Сократив обе части на и приведя подобные, получим: 2А= 16, А= 8. Следовательно, искомое частное решение имеет вид: . Таким образом, общее решение данного уравнения запишется в виде: .

б) Правая часть ЛНДУ (9.13) имеет вид: ,

где M, N – заданные числа.

В этом случае частное решение нужно искать в виде:

,

где А и В – неизвестные числа;

r – кратность, с которой комплексная сопряженная пара α ± i β входит в число корней характеристического уравнения.

 

Пример 79. Найти общее решение уравнения у'' – 2у' – 8у = 17 sin3х+6cos3х.

Решение. Соответствующее однородное уравнение у'' + у' – 2у = 0. Решаем

его k2 –2k – 8 = 0, k1 = 4, k2 = – 2.

.

Правая часть f(х) = 8 sin2х имеет вид , где α = 0, β = 2, М =0, N = 8. Так как комплексная сопряженная пара α ± iβ = ± 2i не совпадает с корнями характеристического уравнения (r = 0), то частное решение имеет вид: .

Дифференцируем и подставляем это решение в неоднородное уравнение:

;

.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых тригонометрических функциях в левой и правой частях равенства:

при : ; при :

Из этой системы находим А и В:

В = –1, А = 0. Тогда частное решение равно: , а общее решение неоднородного уравнения имеет вид: .

 

Ряды

 

Числовые ряды

 

Пусть задана бесконечная последовательность чисел (действительных или комплексных) .

Определение.Числовым рядом называется выражение вида

.

Сокращённо ряд записывается следующим образом: . При этом числа называются членами ряда, а число - общим членом ряда.

Определение.Суммы вида называются частичными суммами ряда.

Ряд считается заданным, если известен закон составления каждого его члена, т.е. .

Определение. Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм: . В этом случае число S называется суммой ряда. Если не существует или равен бесконечности, то числовой ряд называется расходящимся и суммы не имеет.

Пример 80. Написать формулу общего члена ряда: а) ;

б) .

Решение. а) Если члены ряда – дроби, то для записи закономерностей их получения отдельно рассматривают числители и знаменатели. В данном примере числа 2, 5, 8, 11, …, стоящие в числителях членов ряда, образуют арифметическую прогрессию, так как каждое последующее число отличается от предыдущего на одно и то же число , называемое разностью прогрессии. Известно, что для арифметической прогрессии n-ый её член может быть найден по формуле: , где - первый член прогрессии; - разность.

Тогда для прогрессии 2, 5, 8, 11, …, имеем .

Знаменатели членов ряда 3, 32, 33, … представляют собой геометрическую прогрессию, так как каждое последующее число получено из предыдущего путем умножения его на одно и тоже число, равное 3, которое называется знаменателем геометрической прогрессии. Известно, что для геометрической прогрессии её общий член может быть найден по формуле: , где - первый член прогрессии, - знаменатель прогрессии.

В нашем примере имеем , тогда .

Следовательно, общий член ряда записывается в виде: .

б) Числители - 1, 4, 9, 16, … - квадраты последовательных натуральных чисел: . Знаменатели можно записать так: т.е. Указание. По определению, факториалом числа n называют произведение натуральных чисел от 1 до n, т.е.: . При этом полагают по определению, что .

Чередование знаков у членов ряда можно получить с помощью сомножителя . Итак, .





©2015-2017 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.

Обратная связь

ТОП 5 активных страниц!