Теорема( о конструкции общего решения ЛНДУ II-го порядка с постоянными коэффициентами).

Рассмотрим этот метод.

а) Правая часть ЛНДУ (9.13) имеет вид: ,

где - заданный многочлен степени n, a - заданное действительное число. В этом случае имеем уравнение . Его частное решение нужно искать в виде:

,

где - многочлен степени n с неизвестными коэффициентами, а

r – кратность корня a характеристического уравнения(если a - не корень, то r= 0).

Укажем для справки общий вид многочленов нулевой, первой, второй и

третьей степеней:

Пример 77. Найти общее решение уравнения (*).

Решение. 1) Находим сначала общее решение соответствующего однородного уравнения: .

Составляем характеристическое уравнение: и находим его корни . Так как корни действительные и различные, то общее решение однородного уравнения имеет вид: .

2) Теперь найдём частное решение неоднородного уравнения . Его правая часть , т.е. имеет вид . Роль многочлена выполняет (27 х – 39) –многочлен первой степени; не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения, значит, ищем в виде:

. Здесь - многочлен первой степени с неизвестными коэффициентами А и В, которые требуется найти. Для определения А и В дифференцируем дважды : ;

.

Подставляем найденные значения в данное неоднородное уравнение:

Сократив на , получим равенство двух многочленов:

,

(**)

Известно, что два многочлена одной и той же степени равны, если они имеют равные коэффициенты при одинаковых степенях х. Приравнивая эти коэффициенты в левой и правой частях равенства (**), получим систему уравнений для определения неизвестных коэффициентов А и В.

При ; при . Подставив во второе уравнение значение А, получим:

Найдя А и В, запишем вид частного решения : . Тогда общее решение уравнения равно .

Пример 78. Найти общее решение уравнения: .

Решение. Общее решение данного ЛНДУ ищем в виде: , где - общее решение соответствующего ЛОДУ; - частное решение ЛНДУ.

1)Выпишем соответствующее ЛОДУ: и находим его общее решение . Характеристическое уравнение: имеет корни , следовательно, .

2)Находим частное решение ЛНДУ: .

Его правая часть имеет вид: , т.е. представлена в виде произведения числа (-16), являющегося многочленом нулевой степени ( на экспоненту, у которой коэффициент в показателе степени является двукратным корнем характеристического многочлена: . Тогда ищем в виде: Для определения коэффициента необходимо и его производные подставить в левую часть уравнения. Найдём и :

Подставим выражение для , ', '' в данное уравнение:

Сократив обе части на и приведя подобные, получим: 2 А = 16, А = 8. Следовательно, искомое частное решение имеет вид: . Таким образом, общее решение данного уравнения запишется в виде: .

б) Правая часть ЛНДУ (9.13) имеет вид: ,

где M, N – заданные числа.

В этом случае частное решение нужно искать в виде:

,

где А и В – неизвестные числа;

r – кратность, с которой комплексная сопряженная пара α ± i β входит в число корней характеристического уравнения.

Пример 79. Найти общее решение уравнения у '' – 2 у ' – 8 у = 17 sin3 х +6cos3 х.

Решение. Соответствующее однородное уравнение у '' + у ' – 2 у = 0. Решаем

его k² –2 k – 8 = 0, k₁ = 4, k₂ = – 2.

.

Правая часть f(х) = 8 sin2х имеет вид , где α = 0, β = 2, М =0, N = 8. Так как комплексная сопряженная пара α ± i β = ± 2 i не совпадает с корнями характеристического уравнения (r = 0), то частное решение имеет вид: .

Дифференцируем и подставляем это решение в неоднородное уравнение:

;

.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых тригонометрических функциях в левой и правой частях равенства:

при : ; при :

Из этой системы находим А и В:

В = –1, А = 0. Тогда частное решение равно: , а общее решение неоднородного уравнения имеет вид: .

Ряды

Числовые ряды

Пусть задана бесконечная последовательность чисел (действительных или комплексных) .

Определение. Числовым рядом называется выражение вида

.

Сокращённо ряд записывается следующим образом: . При этом числа называются членами ряда, а число - общим членом ряда.

Определение. Суммы вида называются частичными суммами ряда.

Ряд считается заданным, если известен закон составления каждого его члена, т.е. .

Определение. Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм: . В этом случае число S называется суммой ряда. Если не существует или равен бесконечности, то числовой ряд называется расходящимся и суммы не имеет.

Пример 80. Написать формулу общего члена ряда: а) ;

б) .

Решение. а) Если члены ряда – дроби, то для записи закономерностей их получения отдельно рассматривают числители и знаменатели. В данном примере числа 2, 5, 8, 11, …, стоящие в числителях членов ряда, образуют арифметическую прогрессию, так как каждое последующее число отличается от предыдущего на одно и то же число , называемое разностью прогрессии. Известно, что для арифметической прогрессии n -ый её член может быть найден по формуле: , где - первый член прогрессии; - разность.

Тогда для прогрессии 2, 5, 8, 11, …, имеем .

Знаменатели членов ряда 3, 3², 3³, … представляют собой геометрическую прогрессию, так как каждое последующее число получено из предыдущего путем умножения его на одно и тоже число, равное 3, которое называется знаменателем геометрической прогрессии. Известно, что для геометрической прогрессии её общий член может быть найден по формуле: , где - первый член прогрессии, - знаменатель прогрессии.

В нашем примере имеем , тогда .

Следовательно, общий член ряда записывается в виде: .

б) Числители - 1, 4, 9, 16, … - квадраты последовательных натуральных чисел: . Знаменатели можно записать так: т.е. Указание. По определению, факториалом числа n называют произведение натуральных чисел от 1 до n, т.е.: . При этом полагают по определению, что .

Чередование знаков у членов ряда можно получить с помощью сомножителя . Итак, .