Интегральная сумма. Определённый интеграл и его геометрический смысл

Пусть функция непрерывна на отрезке [ a,b ]. Выполним

следующие действия: 1.Разобьём отрезок [ a,b ] на n частей точками

, обозначим длины отрезков:

.

2.На каждом из этих отрезков выберем соответственно точки и вычислим значения функции f(x) в каждой из этих точек: . Составим произведения:

.

3.Составим сумму всех таких произведений и обозначим её :

или

Эта сумма называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [ a,b ].

4.Назовём наибольшую из длин отрезков шагом разбиения и обозначим .

Пусть число отрезков неограниченно растёт, а шаг разбиения стремится к нулю . Если при этом интегральная сумма имеет предел, который не зависит ни от способа разбиения отрезка [ a,b ] на отрезки , ни от выбора точек в каждом из них, то это число называется определённым интегралом от функции f(x) на отрезке [ a,b ].

Определение. Определённым интегралом от функции f(x) на отрезке [ a,b ] называется число, равное пределу, к которому стремится интегральная сумма, когда шаг разбиения стремится к нулю, а число отрезков разбиения неограниченно растет.Обозначение: .

. (8.7)

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределамиинтегрирования. Функция f(x), для которой существует интеграл на отрезке [ a,b ], называется интегрируемой на этом отрезке.

Исходя из задачи о площади криволинейной

трапеции, можно сформулировать геометрический

смысл определённого интеграла:

Свойства определённого интеграла. Формула Ньютона-Лейбница

1. Постоянный множитель можно вынести за знак определённого интеграла.

.

2. Определённый интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме определённых интегралов от этих функций.

.

3. Если функция на отрезке [a,b], то интеграл от неё даёт длину этого отрезка: .

4. Если пределы интегрирования равны, то .

5. При перестановке пределов интегрирования определённый интеграл меняет знак на противоположный: .

6. Свойство аддитивности определённого интеграла.

Если отрезок интегрирования [ a,b ] разбить на части [ a,c ] и [ c,b ], то:

.

Формула Ньютона – Лейбница.

(8.9)

Эта формула является основной в интегральном исчислении и читается так: чтобы вычислить значение определённого интеграла, надо взять любую первообразную F(x) для функции f(x) и составить разность её значений, вычисленных при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Пример 57. .

Пример 58. .

.

Пример 59. .

Методы интегрирования

Примеры на непосредственное интегрирование рассмотрены ранее (57, 58, 59).

Формула интегрирования по частям в определённом интеграле имеет вид: . (8.10)

При применении формулы (8.10) рекомендации по выбору функций U и dV остаются теми же, что и в неопределённом интеграле.