Основные правила и формулы дифференцирования
Определение. Производной функции 
по аргументу 
называется предел отношения приращения функции 
к приращению аргумента 
при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует).
.
Приведём таблицу 1 правил дифференцирования и формул производных основных элементарных функций.
Пример 38. Применяя формулы и правила дифференцирования, найти
производные следующих функций: а) 
;
б) 
; в) 
; г) 
.
Решение.
а) Применяя правила дифференцирования суммы (3), а так же формулы дифференцирования степенной функции (1), независимой переменной х, постояного числа получаем с, плучаем: 
.
б) Используя правило дифференцирования произведения (4), а затем формулы дифференцирования степенной функции (1) и экспоненты (20), имеем: 
.
в) Применяя правило дифференцирования частного (5), формулы дифференцирования степенной (1), логарифмической (3) функций и синуса (4), получим:
Таблица 1 – Таблица производных
Правила дифференцирования
1. 
2. 
3. 
4. 
40. 
5. 
6. 
60. 
7. 
70. 
Формулы дифференцирования
| Название функции | Простые функции | № п/п | Сложные функции 
|
| Степенная (n - число) | 
| 10 | 
|
| Показательная (а – число) Экспонента | 
| 20 | 
|
| Логарифмическая | 
| 30 | 
|
| Тригонометрические: Синус Косинус Тангенс Котангенс |
|
| |
| Обратные тригонометрические: | 
|
.
г) 
Дифференцирование неявных функций
Если функция 
задана уравнением, не разрешённым относительно 
, то для нахождения производной 
надо продифференцировать по х обе части этого уравнения, учитывая, что у есть функция от х, и затем
|
|
разрешить полученное уравнение относительно 
.
Пример 39. 
. Найти у ' (х).
Решение. Дифференцируя по х обе части данного равенства и считая при этом у функцией от х, находим:
или 
.
Раскроем скобки в последнем равенстве:
Разрешим полученное равенство относительно у':
, или 
.
Дифференцирование функций, заданных параметрически
Если зависимость функции у от независимой переменной х задана с помощью вспомогательной переменной (параметра) t:
, то
. (6.1)
Пример 40. 
. Найти 
.
Решение. Дифференцируем х и у по параметру t: 
Следовательно, 
.
Производные высших порядков
Производная второго порядка (вторая производная) от функции
есть производная от её первой производной:
(6.2)
Производная третьего порядка (третья производная) от функции
есть производная от её второй производной:
и т. д.
Производная n-го порядка (n-я производная) от функции есть
производная от её (n-1)- й производной:
. (6.3)
Пример 41. Найти значение второй производной от функции
в точке х = 2.
Решение. Дифференцируя данную функцию, получим:
.
Дифференцируя производную 
, тем самым найдём 
:
.
При х = 2 имеем 
.
Правило Лопиталя
Основным аппаратом для раскрытия неопределённостей 
и 
является теорема, известная под названием правила Лопиталя
Теорема Если выполнены условия:
1) 
или 
,
2) функции 
и 
дифференцируемы в некоторой
окрестности точки 
(за исключением, быть может, её са-
мой), причём 
,
3) существует предел 
, тогда
. (6.4)
Это правило применимо и в том случае, когда 
. Кроме того, при
|
|
решении примера его можно применять неоднократно, если указанные выше неопределённости сохраняются.
Пример 42. Найти 
.
Решение. Если в заданное отношение подставить х = 0, то получим неопределённость вида 
. Воспользуемся правилом Лопиталя, т. е. заменим отношение функций отношением их производных:
.
Пример 43. Найти 
.
Решение. 
.
Пример 44. Найти 
. Здесь имеет место неопределённость вида 
, которую раскроем, предварительно сводя её к неопределённости 
, а далее воспользуемся правилом Лопиталя.
Решение. 
.