Дифференциальное исчисление функции одной переменной




 

Основные правила и формулы дифференцирования

 

Определение. Производной функции по аргументу называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует).

.

Приведём таблицу 1 правил дифференцирования и формул производных основных элементарных функций.

Пример 38. Применяя формулы и правила дифференцирования, найти

производные следующих функций: а) ;

б) ; в) ; г) .

Решение.

а) Применяя правила дифференцирования суммы (3), а так же формулы дифференцирования степенной функции (1), независимой переменной х, постояного числа получаем с, плучаем: .

б) Используя правило дифференцирования произведения (4), а затем формулы дифференцирования степенной функции (1) и экспоненты (20), имеем:

.

в) Применяя правило дифференцирования частного (5), формулы дифференцирования степенной (1), логарифмической (3) функций и синуса (4), получим:

 

 


Таблица 1 – Таблица производных

 

Правила дифференцирования

1. 2. 3.

4. 40.

5. 6.

60. 7. 70.

Формулы дифференцирования

Название функции Простые функции № п/п Сложные функции
  Степенная (n - число)   10
Показательная (а – число) Экспонента   20
  Логарифмическая   30
Тригонометрические: Синус   Косинус   Тангенс   Котангенс              
Обратные тригонометрические:            

.

 

г)

 

Дифференцирование неявных функций

 

Если функция задана уравнением, не разрешённым относительно , то для нахождения производной надо продифференцировать по х обе части этого уравнения, учитывая, что у есть функция от х, и затем

разрешить полученное уравнение относительно .

Пример 39. . Найти у ' (х).

Решение. Дифференцируя по х обе части данного равенства и считая при этом у функцией от х, находим:

или .

Раскроем скобки в последнем равенстве:

Разрешим полученное равенство относительно у':

, или .

Дифференцирование функций, заданных параметрически

 

Если зависимость функции у от независимой переменной х задана с помощью вспомогательной переменной (параметра) t:

, то

. (6.1)

Пример 40. . Найти .

Решение. Дифференцируем х и у по параметру t:

Следовательно, .

 

Производные высших порядков

Производная второго порядка (вторая производная) от функции

есть производная от её первой производной:

(6.2)

Производная третьего порядка (третья производная) от функции

есть производная от её второй производной:

и т. д.

Производная n-го порядка (n-я производная) от функции есть

производная от её (n-1)- й производной:

. (6.3)

Пример 41. Найти значение второй производной от функции

в точке х = 2.

Решение. Дифференцируя данную функцию, получим:

.

Дифференцируя производную , тем самым найдём :

.

При х = 2 имеем .

 

Правило Лопиталя

 

Основным аппаратом для раскрытия неопределённостей и

является теорема, известная под названием правила Лопиталя

Теорема Если выполнены условия:

1) или ,

2) функции и дифференцируемы в некоторой

окрестности точки (за исключением, быть может, её са-

мой), причём ,

3) существует предел , тогда

. (6.4)

Это правило применимо и в том случае, когда . Кроме того, при

решении примера его можно применять неоднократно, если указанные выше неопределённости сохраняются.

Пример 42. Найти .

Решение. Если в заданное отношение подставить х = 0, то получим неопределённость вида . Воспользуемся правилом Лопиталя, т. е. заменим отношение функций отношением их производных:

.

Пример 43. Найти .

Решение. .

 

Пример 44. Найти . Здесь имеет место неопределённость вида , которую раскроем, предварительно сводя её к неопределённости , а далее воспользуемся правилом Лопиталя.

Решение. .



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-02-16 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: