Интервалы выпуклости и вогнутости графика функции. Точки перегиба

Определение. Кривая называется выпуклой (вогнутой) на интервале (а,b), если она расположена ниже (выше) касательной, проведённой к кривой в любой точке этого интервала.

Определение. Точкой перегиба называют точку, отделяющую выпуклую часть непрерывной кривой от вогнутой.

у На рисунке 36 график выпуклый на

интервале (а, х₀), вогнутый – на интер-

вале (х₀, b), точка Р₀ – точка перегиба.

у₀ Р₀ Если кривая задана уравнением у = f(х),

то может быть сформулировано

следующее правило исследования на

выпуклость, вогнутость, перегиб:

1.Найти область определения функции; а х₀ b х 2. Определить вторую производную у '';

Рисунок 36 3. Найти критические точки второго рода

х_k (k = 1, 2, ….n) из условий: а) у '' (х_k) = 0; б) у '' (х_k) не существует.

4. Область определения у = f(х) разбить критическими точками второго рода на интервалы и определить знак второй производной на каждом из них. Интервалы, в которых у'' > 0, являются интервалами вогнутости кривой, а интервалы, в которых у'' < 0 - интервалами выпуклости;

5. Если при переходе через критическую точку второго рода вторая производная меняет свой знак, то эта точка – абсцисса точки перегиба;

6. Определить значение функции у = f(х) в точках перегиба.

Пример 46. Найти точки перегиба функции

Решение. 1. Область определения функции: R = (- ¥, + ¥);

2. Находим первую и вторую производные

у' = у'' =

3. Находим критические точки второго рода: а) у'' = 0 Þ е ^{– х} (х – 2) = 0,

так как ¹ 0, то х = 2 – критическая точка второго рода:

б) у'' – существует при всех х Î R.

4. Для проверки условий существования точки перегиба мы будем пользоваться таблицей 3, подобной таблице 2, которая рассматривалась при нахождении экстремумов.

Таблица 3

х	(-∞; 2)		(2; +∞)
	-		+	у_пер = у(2) = 2
у		2 ℓ^-2
	перегиб

Следовательно, точка является точкой перегиба графика функции .

Асимптоты

Определение. Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю

при неограниченном удалении от начала координат этой

точки по кривой.

Будем различать:

- вертикальную асимптоту. Прямая х = х₀ является вертикальной

асимптотой, если по крайней мере один из пределов функции

у = f(х) в точке х₀ справа или слева равен бесконечности, т.е. если

или (6.5)

- наклонную асимптоту, имеющую уравнение у = kx + b, если существуют оба предела:

и (6.6)

(если k= 0, то асимптота называется горизонтальной)

Пример 47. Найти асимптоты кривых: а) , б) .

Решение. а) находим область определения функции: х – 3 ≠ 0 Þ х ≠ 3 Þ

D(у): х Î (- ¥; 3) È (3; + ¥). В точке х = 3 функция терпит разрыв.

Кривая имеет вертикальную асимптоту, которая определяется уравнением

х = 3, так как , (х = 3 - точка

разрыва второго рода). Найдём наклонную асимптоту у = kx + b, используя для нахождения параметров k и b формулы(6.6):

, .

Следовательно, прямая у = - х + 4 является наклонной асимптотой графика функции (рисунок 37).

б) Функция существует на всей числовой прямой, следовательно, непрерывна, вертикальных асимптот нет; наклонные асимптоты у = kx + b в данном случае нужно искать отдельно при и , т. к. функция по-разному ведёт себя при и .

Пусть . Тогда

=0 (при нахождении предела использовали правило Лопиталя). Таким образом, у = 0 –наклонная (горизонтальная) асимптота при .

Пусть теперь . Тогда ,

следовательно, наклонной асимптоты при нет (рисунок 38)

Рисунок 37 Рисунок 38

Пример 48. Исследовать функцию и построить её график.

Примечание. Исследование функции и построение её графика можно проводить по следующей схеме:

1. Найти область определения функции

2. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва (если они существуют)

3. Исследовать функцию на чётность и нечётность

4. Найти асимптоты графика функции

5. Найти интервалы знакопостоянства функции и точки пересечения графика функции с осями координат

6. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции

7. Определить интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции

8. На основании проведённого исследования построить график функции

-1

Решение. 1. Находим область определения функции:

, т.е.

.(рисунок 39) Рисунок 39

2. Данная функция – элементарная, поэтому непрерывна в своей области определения, т.е. на интервалах .

Точка - точка разрыва. Определим характер точки разрыва. Найдём односторонние пределы функции в точке :

; .

Так как односторонние пределы бесконечны, то точка - точка разрыва второго рода.

3. Для проверки функции на чётность и нечётность найдём: . Так как и , то данная функция ни чётная, ни нечётная, то есть функция общего вида. Следовательно, график данной функции симметрией не обладает.

4. Определяем асимптоты графика функции. В точке функция терпит разрыв II рода, следовательно, прямая является вертикальной асимптотой. Найдём наклонные асимптоты:

, .

Таким образом, прямая является Таблица 4
наклонной асимптотой. Для её построения составим таблицу 4:	х
у	- 1

5. Находим интервалы знакопостоянства и точки пересечения графика функции с осями координат.

-1

Из равенства

находим,

что - нуль (корень) функции. Рисунок 40

Полученной точкой разбиваем область определения функции на интервалы (рисунок 40) , , и определяем знак функции на каждом из них.

Результаты исследования занесем в таблицу 5.

Таблица 5

х
у	-	-		+
график	ниже оси Ох	ниже оси Ох	точка перес. с Ох	выше оси Ох

на интервале график функции лежит ниже оси Ох.

, следовательно, на интервале график функции также лежит ниже оси Ох.

, следовательно, на интервале график функции лежит выше оси Ох. Так как функция меняет свой знак при переходе через точку х = 0, то эта точка является точкой пересечения графика с осью Ох.