Аналитическая геометрия в пространстве

Плоскость

 

Если в пространстве взята прямоугольная декартова система координат, то всякое уравнение первой степени относительно текущих координат х, у и z

, (4.1)

где А, В и С одновременно не равны нулю, определяет плоскость в этой системе координат. Числа А, В, С являются координатами вектора , перпендикулярного к плоскости. Вектор называется вектором нормали.

Справедливо и обратное утверждение: в пространственной прямоугольной декартовой системе координат всякая плоскость может быть представлена уравнением вида (4.1).

Уравнение (4.1) называется общим уравнением плоскости.

Отметим, что если в уравнении (4.1) отсутствует:

1) свободный член D, то плоскость проходит через начало координат;

2) одна из переменных, то плоскость параллельна той оси, название которой не входит в это уравнение. Например, - уравнение плоскости, параллельной оси Оz.

3) две из трёх переменных, то плоскость параллельна координатной плоскости, в название которой входят отсутствующие в уравнении переменные. Так, - уравнение плоскости, параллельной координатной плоскости хОz.

4) одна из переменных и свободный член, то плоскость проходит через ось, название переменной которой отсутствует в уравнении.

Например, - уравнение плоскости, проходящей через ось Оу.

5) уравнения х =0, у =0, z =0 определяют соответственно координатые плоскости уОz, хОz, хОу.

Уравнение плоскости, проходящей через

точку и перпендикулярной

вектору (рисунок 21) имеет вид:

Рисунок 21

. (4.2)

Вектор называется нормальным вектором плоскости.

Пусть в прямоугольной декартовой системе

координат (рисунок 22) заданы три точки

,

и .

Тогда уравнение плоскости, проходящей через

три данные точки имеет вид: Рисунок 22

. (4.3)

Пусть плоскости Q₁ и Q₂ заданы уравнениями Q₁: А₁х + В₁у + С₁z + D₁ = 0,

j

j

N

Q

Q

N

Q₂: А₂х + В₂у + С₂z + D₂ = 0.

Тогда углом между плоскостями Q₁ и Q₂

называют угол φ (рисунок 23) между нормаль-

ными векторами этих плоскостей. Нормаль-

ный вектор плоскости может иметь любое из двух

противоположных направлений, поэтому угол между

плоскостями определен неоднозначно и для него воз-

можны два значения φ и π – φ. Рисунок 23

Так как cos (π – φ) = - cos φ, то угол между плоскостями можно найти по формуле:

(4.4)

Q

Q

N

N

Если Q₁||Q₂, то их нормальные векторы и коллинеарны (рисунок 24).

Условие параллельности плоскостей:

 

(4.5)

Рисунок 24

Условие перпендикулярности двух плоскостей имеет вид

. (4.6)

Расстояние от точки до плоскости находится по формуле

. (4.7)

 

Прямая в пространстве

 

Положение прямой l в пространстве вполне определяется заданием точки М₀(х₀; у_0; z₀) Î l и вектора =(m; n; p), который параллелен этой прямой. Такой вектор называется направляющим вектором прямой.

Пусть в пространстве в прямоугольной системе координат задана точка

М₀(х₀; у_0; z₀) є l и вектор =(m; n; p) || l.

x

y

S

z

M

l

M

Составим уравнение прямой l.

Пусть М(х; у; z) – текущая точка прямой l,

тогда =(х-х₀; у-у₀; z-z₀). Очевидно,

что вектор коллинеарен вектору

(рисунок 25). Исходя из условия коллинеарности

двух векторов, имеем канонические уравнения Рисунок 25

прямойв пространстве: . (4.8)

От канонических уравнений прямой, вводя параметр t, перейдём к параметрическим уравнениям прямой

или (4.9)

Уравнения (4.9) называются параметрическими уравнениями прямой, проходящей через точку М₀(х₀; у₀ ; z₀) и имеющей

направляющий вектор =(m; n; p).

Пусть заданы две точки: М₁(х₁; у₁; z₁) и

М₂(х₂; у₂; z₂). Получим уравнение прямой,

проходящей через эти точки.

Пусть М(х; у; z) – произвольная точка прямой l. Рисунок 26

= (х - х₁; у – у₁; z – z₁), = (х₂ – х₁; у₂ – у₁; z₂ – z₁);

є l, є l, || (рисунок 26)

Исходя из условия коллинеарности двух векторов, имеем уравнения прямой в пространстве, проходящей через две данные точки:

(4.10)

Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей (рисунок 27). Если плоскости Q₁ и Q₂ заданы своими уравнениями Q₁: А₁х + В₁у + С₁z + D₁ = 0, Q₂: А₂х + В₂у + С₂z + D₂ = 0, то система уравнений определяет прямую в пространстве, если нормальные векторы

=(А₁; В₁; С₁) и =(А₂; В₂; С₂) неколлинеарны.

l

Q

Q

N

N

(4.11)

- общие уравнения прямой в простран-

Рисунок 27

стве .

 

Пусть прямые l ₁ и l ₂ заданы своими каноническими уравнениями:

l₁: , =(=(m₁; n₁; p₁)

l₂: , =(m₂; n₂; p₂)

Углом φ между прямыми l ₁ и l ₂ называется наименьший из двух смежных углов, который образуют прямые, проведённые параллельно данным через какую-либо точку пространства.

x

y

z

S

S

j

l

l

Очевидно, что угол φ можно определить

как угол между направляющими

векторами и (рисунок 28).

 

Рисунок 28

(4.12)

Если l₁ || l₂, то направляющие векторы =(m₁, n₁, p₁) и =(m₂, n₂, p₂) коллинеарны: . (4.13)

(4.13) - условие параллельности двух прямых l₁ и l₂

Если l₁ ^ l₂, то направляющие векторы =(m₁; n₁; p₁) и =(m₂; n₂; p₂)

взаимно перпендикулярны Þ · = 0 Þ

. (4.14)

(4.14) - условие перпендикулярности двух прямых l₁ и l₂.

Прямая и плоскость

Пусть прямая l и плоскость Q заданы уравнениями:

l: , Q: Ах + Ву + Сz + D= 0

Углом φ между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и её проекцией на плоскость.

Нормаль =(А; В; С) образует с прямой l угол

(90⁰–φ) (рисунок 29), который можно найти,

если известен направляющий вектор =(m; n; p).

, Рисунок 29

.

Для нахождения угла между прямой и плоскостью получаем формулу:

(4.15)

N

l

S

Q

l || Q Þ =(m; n; p) ^ =(А; В; С)

(рисунок 30)Þ · = 0.

А m + Bn + Cp = 0 (4.16)

условие параллельности прямой и плоскости

 

Рисунок 30

l ^ Q Þ || (рисунок 31)

(4.17)

условие перпендикулярности прямой и плоскости

Рисунок 31

Пример 25. Даны координаты точек: А(0; -2; -1), В(2; 4; 0), С(3; 2; 0) и М(-11; 8; 10). Требуется: а) составить уравнение плоскости Q, проходящей через точки А, В, С; б) составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М перпендикулярно плоскости Q.

Решение. а) Воспользуемся уравнением плоскости (4.3), проходящей через три данные точки. Подставив в (4.3) координаты точек А, В и С, получим:

; .

Разложим определить по элементам первой строки:

.

Сократив на 5 и раскрыв скобки, получим уравнение искомой плоскости Q:

.

l

б) Выпишем уравнение плоскости Q: .

Вектор (2; -1; -2) перпендикулярный данной

плоскости (рисунок 32), будет параллелен искомой

прямой , т.е. является её направляющим вектором

. Следовательно, координаты вектора Рисунок 32

. Итак, для искомой прямой известна точка М(-11; 8; 10), через которую она проходит и направляющий вектор . Используя канонические уравнение прямой в пространстве (4.8), получаем:

- искомые уравненния.

Пример 26. Даны координаты точек А(4; 4; -2), В(8; 8; -4), С(-3; -4; 3). Требуется: а) составить канонические уравнения прямой АВ; б) составить уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно прямой АВ, и точку пересечения этой плоскости с прямой АВ.

Решение. а) Воспользуемся уравнениями прямой (4.10), проходящей через две точки, подставляя в них координаты точек А и В:

; - канонические уравнения прямой АВ.

б) Так как по условию задачи плоскость Q перпендикулярна прямой (АВ) (рисунок 33), то в качестве нормального вектора можно принять направляющий вектор прямой , так как перпендикулярен плоскости.

Тогда для плоскости известны точка , через которую она проходит, и вектор нормали .

Следовательно, нужно воспользоваться

уравнением (4.2), подставив в него

соответствующие координаты:

;

; Рисунок 33

;

(Q).

Чтобы найти точку пересечения прямой (AB) с плоскостью Q, запишем уравнения прямой АВ в параметрическом виде.

Пусть или , ; ,

где t - некоторый параметр.

Тогда уравнения прямой можно записать в виде (4.9):

х = 4 t + 4; у = 4 t + 4; z = –2 t – 2.

Для нахождения координат точки пересечения прямой и плоскости необходимо решить систему, составленную из их уравнений:

.

Так как координаты х, у, z точки пересечения прямой и плоскости должны удовлетворять уравнениям прямой и уравнению плоскости, то подставляя их значения в данное уравнение плоскости, получим

2(4 t + 4) +2(4 t + 4) – (–2 t - 2) + 17 = 0; 8 t + 8 +8 t + 8 + 2 t + 2 + 17 = 0;

18 t = – 35, откуда .

Найденное значение t есть величина параметра в точке пересечения прямой и плоскости. В результате подстановки этого значения в уравнения прямой в параметрическом виде находим координаты точки пересечения:

.

.

.

Итак, координаты точки Р пересечения данной прямой и плоскости таковы: .