Метод Гаусса заключается в приведении расширенной матрицы системы, (а следовательно, и самой системы) с помощью Э.П. к ступенчатому виду, где все элементы матрицы, стоящие ниже главной диагонали – нули. При этом возможны следующие случаи:
1) Если с помощью Э.П. расширенная матрица системы приведена к треугольному виду:
, (1.4)
т.е. ниже главной диагонали – нули, а все элементы главной диагонали нулю не равны, то система имеет единственное решение.
Полученная матрица (1.4) соответствует системе:
,
в которой последнее уравнение содержит одно неизвестное.
Из такой преобразованной системы все неизвестные определяются без труда, так называемым, обратным ходом.
2) Далее, если в ступенчатом виде расширенной матрицы присутствует хотя бы одна строка вида:
(
), 
где 
,т.е
, (1.5)
то система несовместна. Такой строке соответствует уравнение вида
х1 + 
х2 + …+ 
хn = , которое не имеет смысла.
3) Если же в ступенчатом виде расширенной матрицы последняя строка, кроме диагонального элемента 
, имеет ещё ненулевые элементы, т.е.
, (1.6)
то система имеет бесконечное множество решений, т.е. является неопределённой. В этом случае n – k неизвестных объявляются свободными, т.е. принимающими произвольные значения, а остальные k неизвестных выражаются из уравнений системы через них.
Замечание. Для контроля вычислений в расширенную матрицу системы вводится дополнительный (контрольный) столбец, элементы которого равны суммам элементов соответствующей строки расширенной матрицы. При Э.П. строк матрицы такому же преобразованию должны подвергнуться и элементы контрольного столбца. Контролем служит тот факт, что и после проведенного преобразования элементы контрольного столбца вновь равны сумме элементов соответствующей строки. Нарушение этого условия указывает на ошибку в вычислениях.
|
|
Пример 1. Решить систему уравнений: 
Решение. Составим расширенную матрицу системы вместе с контрольным столбцом и обозначим каждую строку полученной матрицы буквой 
, где i – номер строки: 
.
Первый шаг: приведём данную матрицу к треугольному или ступенчатому виду, т.е. к такому, когда для 
- первому ненулевому элементу i -ой строки все элементы матрицы, стоящие ниже и левее 
- нулевые.
Так как в первой строке 
первый элемент 
, то с помощью Э.П. добьёмся, чтобы ниже 
(т.е. во 2-ой, 3-ей и 4-ой строках) в первом столбце стояли нули. Для этого все элементы 
умножим на (-2) и сложим с 
, затем умножим на (-1) и (-3) и сложим соответственно с элементами 
и 
. Тогда получим:
При Э.П. этим же преобразованиям подвергаются и элементы контрольного столбца, а затем вновь, суммируя элементы строки матрицы (А|В), сравнивают сумму с соответствующим элементом контрольного столбца. Если эти числа совпали, то арифметические преобразования выполнены верны, если – нет, то необходимо найти ошибки в вычислениях.
Второй шаг: теперь необходимо под вторым элементом строки 
получить в строках 
и 
нули. На первом шаге метода Гаусса роль такого элемента выполняла единица, что было удобно при вычислениях. Поэтому поменяем местами и , одновременно умножив на (-1), т.е. 
.
На третьем шаге метода Гаусса добьёмся, чтобы в строке первый, отличный от нуля, элемент был единицей. Для этого умножим строку на (-1) и прибавим к третьей, а затем, умножая на (-4) сложим с :
|
|
.
Получена треугольная матрица, т.к. по главной диагонали стоят числа, отличные от нуля (единицы), а ниже неё – нули.
Следовательно, данная система уравнений имеет единственное решение. Для его нахождения выпишем по полученной матрице соответствующую систему уравнений: 
. Из последнего уравнения имеем, что 
. Подставляя это значение в предыдущее уравнение, найдём 
или 
. Из второго уравнения определяем 
или 
, а из первого уравнения находим 
или 
.
Таким образом, система уравнений имеет единственное решение (1; 2; 3; 4).
Пример 2. Решить систему уравней: 
Решение. Выпишем расширенную матрицу системы вместе с контрольным столбцом и с помощью шагов метода Гаусса приведём её к ступенчатому виду:
.
Получена ступенчатая матрица, для которой запишем соответствующую систему уравнений: 
. Так как эта система после исключения неизвестных приведена к ступенчатому виду, в котором число неизвестных
n = 3 больше числа уравнений k = 2, из которых их надо определить, то система неопределённа, то есть имеет бесчисленное множество решений.
Для его нахождения определяем число свободных неизвестных: 
. Следовательно, одно из неизвестных можно считать свободным, т.е. принимающим произвольные значения. В качестве него лучше выбирать то неизвестное, которое входит сразу во все уравнения получившейся системы. Таковыми в данном примере являются 
и 
. Выберем в качестве свободного неизвестного 
. Тогда из второго уравнения выражаем через : 
. Подставляя полученную связь между и в первое уравнение, найдём зависимость 
от : 
или 
.
|
|
Откуда окончательно имеем: 
.
Таким образом, система имеет бесчисленное множество решений: 
; 
; 
.
Пример 3. Решить систему уравнений 
.
Решение.
.
Так как последней строке полученной матрицы соответствует уравнение 
, которое является противоречивым, то система несовместна.