Балансовый анализ. Математическая модель многоотраслевой экономики (метод Леонтьева)

Цель балансового анализа – ответить на вопрос, возникающий в макроэкономике и связанный с эффективностью ведения многоотраслевого хозяйства: каким должен быть объём производства каждой из п отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли? При этом каждая отрасль выступает, с одной стороны, как производитель некоторой продукции, а сдругой – как потребитель продукции и своей, и произведённой, другими отраслями.

Связь между отраслями, как правило, отражается в таблицах межотраслевого баланса, а математическая модель, позволяющая их анализировать, разработана в 1936 г. американским экономистом В.Леонтьевым

Предположим, что рассматривается п отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию. Часть продукции идет на внутрипроизводственное потребление данной отраслью и другими отраслями, а другая часть предназначена для целей конечного (вне сферы материального производства) личного и общественного потребления.

Рассмотрим процесс производства за некоторый период времени (например, год).

Введём следующие обозначения: х_i - общий (валовой) объём продукции i - й отрасли (i = 1,2,..., n);

x_ij – объём продукции i - й отрасли, потребляемой j -й отраслью в процессе производства (i, j = 1,2,..., n);

у_i – объём конечного продукта i - й отрасли для непроизводственного потребления.

Так как валовой объём продукции любой i - й отрасли равен суммарному объёму продукции, потребляемой п отраслями, и конечного продукта, то

(1.15)

Уравнения (1.15) называются соотношениями баланса. Будем рассматривать стоимостный межотраслевой баланс, когда все величины, входящие в (1.15), имеют стоимостное выражение.

Введём коэффициенты прямых затрат :

Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска X, который при известной матрице прямых затрат А обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y.

Перепишем уравнение (1.19) в виде:

(E – A) X =Y (1.20)

Если матрица (Е – А) невырожденная, т.е. |Е – А |≠0, то

X = (E – A)^-1 Y. (1.21)

Матрица S = (Е – А)^-1 называется матрицей полных затрат.

Каждый элемент s_ij матрицы S есть величина валового выпуска продукции i -й отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j -й отрасли (j =1,2,..., n).

В соответствии с экономическим смыслом задачи значения х_i должны быть неотрицательны при неотрицательных значениях

и , где i, j = 1, 2,…, n.

Определение. Матрица А ≥ 0 называется продуктивной, если для любого вектора Y ≥ 0 существует решение X ≥ 0 уравнения (Е-А)Х=Y. В этом случае и модель Леонтьева называется продуктивной.

Существует несколько критериев продуктивности матрицы А.

Первый критерий продуктивности. Матрица А продуктивна, если максимум сумм элементов её столбцов не превосходит единицы, причем хотя бы для одного из столбцов сумма элементов строго меньше единицы, т.е. матрица А продуктивна, если для любых i, j = 1,2,..., n и , и существует номер j такой, что .

Второй критерий продуктивности. Матрица A ≥ 0 продуктивна тогда и только тогда, когда матрица (Е – А) ^{– 1} существует и неотрицательна.

Пример 9. В таблице приведены данные об исполнении баланса за отчетный период, усл. ден. ед.:

Вычислить необходимый объём валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление энергетической отрасли увеличится вдвое, а машиностроение сохранится на прежнем уровне.

Решение. Имеем .

По формуле (1.16) находим коэффициенты прямых затрат: , т.е матрица прямых затрат

имеет неотрицательные элементы и удовлетворяет первому критерию продуктивности: .

Поэтому для любого вектора конечного продукта Y можно найти необходимый объём валового выпуска Х по формуле (1.21):

X = (E – A)^-1 ×Y

Найдём матрицу полных затрат S = (E – A)^-1:

. Так как | Е – А |=0,8202 ≠ 0, то по формуле (1.14) для вычисления обратной матрицы имеем: .

По условию вектор конечного продукта должен быть равен . Тогда по формуле (1.21) получаем вектор валового выпуска:

, т.е. валовой выпуск в энергетической отрасли надо увеличить до 179, 0 усл. ед., а в машиностроительной – до 160,5 усл. ед.

Ответ: (усл. ед.), (усл. ед.).

Векторная алгебра

Основные понятия векторной алгебры

Определение. Вектором называется направленный отрезок АВ, в котором

точка А рассматривается как начало, а точка В – как конец.

Вектор обозначается или , и изображается следующим образом:

В Модуль (длина) вектора обозначается или .

А или

Определение. Векторы называются коллинеарными, если они расположены

на одной или на параллельных прямых, и компланарными,

если они лежат на одной или на параллельных плоскостях.

Определение. Векторы называются равными, если: а) равны их длины;

б) они коллинеарны; с) направлены в одну сторону.

Определение. Координатами вектора в системе ХОУ

называются проекции этого вектора на оси Ох, Оу, Оz.

В этом случае пишут: =

Определение. Базисными ортами называются единичные векторы , направленные соответственно по координатным осям Ох, Оу, Оz.

Координаты вектора являются коэффициентами его разложения по ортам:

= а_х · + а_у · + а_z · . (2.1)

Если известны координаты точек А(х₁; у₁; z₁) и В(х₂; у₂; z₂), то

координаты вектора равны разностям соответсвующих координат его

конца В и начала А, т.е.

. (2.2)

Длина вектора, заданного своими координатами = , вычисляется по формуле:

. (2.3)

При сложении (вычитании) векторов их соответствующие координаты складываются (вычитаются), а при умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число.

Пример 10. Вектор задан координатами начала А и конца В: А (-2;3;-5),

В (2; -3; 1). Найти координаты вектора и его длину.

Решение. По формуле (2.2) найдём координаты вектора : = {4; -6; 6}

По формуле (2.3) определяем его длину: .

Ответ: = ; .

Пример 11. Даны три вектора: , , .

Найти координаты вектора .

Решение. Имеем , , .

Тогда .

Ответ: .