И.М. БАШНЯК, О.Н. МАСЛАК
М А Т Е М А Т И К А
Учебное пособие
для студентов всех направлений
заочной формы обучения
Новочеркасск
Министерство сельского хозяйства Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Новочеркасская государственная мелиоративная академия»
И.М. БАШНЯК, О.Н. МАСЛАК
М А Т Е М А Т И К А
Учебное пособие
для студентов всех направлений
заочной формы обучения
Новочеркасск
УДК 517 (075.8)
Б 336
Рецензенты: Коханенко В.Н., док. техн. наук, профессор, зав. каф. механики, оборудования и процессов пищевых производств
ФГОУ ВПО ДГАУ
Рогозина Ю.С., канд. техн. наук, доц., зав. каф. математики ФГБОУ ВПО НГМА
Башняк, И.М.
Б 336 Математика [Текст]: учеб. пособие для студ. заоч. формы обуч. всех направлений / И.М. Башняк, О.Н. Маслак; Новочерк. гос. мелиор. акад. – Новочеркасск, 2013. – 178 с.
Настоящее пособие предназначено для студентов I и II курсов заочной формы обучения всех направлений ФГБОУ ВПО НГМА.
Ключевые слова: математика, матрица, векторы, плоскость, прямая, кривые второго порядка, предел, производная, интеграл, дифференциальные уравнения, ряды, теория вероятностей, математическая статистика.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение. 5
1 Элементы линейной алгебры.. 6
1.1 Матрицы. Основные определения. 6
1.2 Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. 6
1.3 Определители второго и третьего порядков, их вычисление. 12
1.4 Решение квадратных систем линейных алгебраических уравнений с помощью формул Крамера. 13
1.5 Решение матричных уравнений. 16
1.6 Балансовый анализ. Математическая модель многоотраслевой экономики (метод Леонтьева) 18
2 Векторная алгебра.. 21
2.1 Основные понятия векторной алгебры.. 21
2.2 Скалярное произведение двух векторов. 22
2.3 Векторное произведение двух векторов. 24
2.4 Смешанное произведение трёх векторов. 25
3 Аналитическая геометрия на плоскости.. 26
3.1 Простейшие задачи. 26
3.2 Понятие о методе координат. 27
3.3 Прямая на плоскости. 27
3.4 Кривые второго порядка. 29
4 Аналитическая геометрия в пространстве. 35
4.1 Плоскость. 35
4.2 Прямая в пространстве. 36
4.3 Прямая и плоскость. 38
5 Введение в математический анализ. 41
5.1 Предел функции. Техника вычисления пределов. 41
5.2 Бесконечно малые и бесконечно большие функции. 42
5.3 Специальные пределы.. 44
5.4 Односторонние пределы. Непрерывность функции. Точки разрыва и их классификация. 46
6 Дифференциальное исчисление функции одной переменной 48
6.1 Основные правила и формулы дифференцирования. 48
6.2 Дифференцирование неявных функций. 50
6.3 Дифференцирование функций, заданных параметрически. 50
6.4 Производные высших порядков. 51
6.5 Правило Лопиталя. 51
6.6 Монотонность и экстремумы функции. 52
6.7 Интервалы выпуклости и вогнутости графика функции. Точки перегиба 54
6.8 Асимптоты.. 56
7 Функции нескольких переменных.. 62
7.1 Частные производные и дифференциал функции двух переменных. 62
7.2 Экстремум функции двух переменных. 64
8 Интегральное исчисление. 66
8.1. Первообразная и неопределённый интеграл. 66
8.2 Основные свойства неопределённого интеграла. 66
8.3 Методы интегрирования. 67
8.4 Задача о площади криволинейной трапеции. 71
8.5 Интегральная сумма. Определённый интеграл и его геометрический смысл 72
8.6 Свойства определённого интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. 74
8.7 Методы интегрирования. 75
8.8 Приближённое вычисление определённого интеграла. Формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона. 76
8.9 Вычисление площадей плоских фигур. 79
8.10 Объём тела вращения. 81
8.11 Несобственные интегралы.. 82
9 Дифференциальные уравнения.. 83
9.1 Основные понятия. 83
9.2 Дифференциальные уравнения I порядка. 84
9.3 Дифференциальные уравнения с разделёнными и разделяющимися переменными 85
9.4 Линейные дифференциальные уравнения I-го порядка. 87
9.5 Дифференциальные уравнения II-го порядка. 88
9.6 Линейные дифференциальные уравнения II-го порядка с постоянными коэффициентами. 89
10 Ряды.. 93
10.1 Числовые ряды.. 93
10.2 Знакопеременные ряды.. 97
10.3 Функциональные ряды. Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда 100
10.4 Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена. 101
10.5 Применение степенных рядов к приближённым вычислениям. 103
11 Теория вероятностей и математическая статистика.. 104
11.1 Элементы комбинаторики. 104
11.2 Классическое определение вероятности. Непосредственный подсчёт вероятности 106
11.3 Теоремы сложения и умножения вероятностей. 108
11.4 Случайные величины и их характеристики. 111
11.5 Основные задачи и методы математической статистики. 115
Задачи для контрольных работ. 127
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. 165
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. 173
ПРИЛОЖЕНИЕ 3. 174
ПРИЛОЖЕНИЕ 4. 174
ПРИЛОЖЕНИЕ 5. 175
Литература.. 176
Введение
Настоящее учебное пособие предназначено для студентов заочной формы обучения всех образовательных направлений НГМА по дисциплинам математического цикла. Пособие содержит краткое изложение теоретического материала, которое иллюстрируется решением типовых задач, входящих затем в варианты заданий контрольных работ.
Порядок выполнения контрольных работ
К выполнению контрольной работы следует приступать только после изучения соответствующего теоретического материала и решения основных задач по темам контрольной работы. Каждую работу следует выполнять в тетради, на внешней обложке которой должны быть указаны фамилия и инициалы студента, полный шифр, номер контрольной работы и дата её отправления в НГМА. Решения всех задач и пояснения к ним должны быть достаточно подробными. При необходимости следует делать соответствующие ссылки на вопросы теории с указанием формул, теорем, выводов, которые используются при решении данной задачи. Все вычисления (в том числе и вспомогательные) необходимо делать полностью. Чертёжи и графики должны быть выполнены аккуратно и чётко с указанием единиц масштаба, координатных осей и других элементов чертёжа. Объяснения к задачам должны соответствовать тем обозначениям, которые даны на чертёже. После получения работы (как зачтённой, так и не зачтённой) студент должен исправить в ней все отмеченные рецензентом недостатки. В случае незачёта, студент обязан в кратчайший срок выполнить все требования рецензента и предоставить работу на повторное рецензирование, приложив при этом первоначально выполненную работу.