Первообразная и неопределённый интеграл

Определение. Дифференцируемая функция F(x) называется первообразной

для функции f(х) на интервале (а, b), если для любого

х Î (а, b) выполняется равенство: F'(x) = f(x).

Например: , т. к.

Из примера видно, что для данной функции существует множество первообразных.

Справедлива лемма о первообразных.

Лемма. Если F(x) – первообразная для функции f(х) на интервале (а, b), то всякая другая первообразная для функции f(х) отличается от F(х) на постоянное слагаемое, т.е. может быть представлена в виде F(х) + С, где С - постоянная.

Определение. Неопределённым интегралом от функции f(х) называется

множество всех её первообразных. Обозначение: ,

где х – переменная интегрирования, f(х) – подынтегральная

функция, f(x)dx – подынтегральное выражение.

Таким образом, .

Операция нахождения неопределённого интеграла называется интегрированием. Она позволяет по производной (или дифференциалу) какой-либо функции найти саму функцию.

Основные свойства неопределённого интеграла

1. Неопределённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределённых интегралов от слагаемых функций: .

2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

.

3. Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции (или дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению): (или ).

4. Неопределённый интеграл от дифференциала функции f(х) равен сумме этой функции и произвольной постоянной: .

5. Вид формулы не изменится, если независимую переменную х заменить любой дифференцируемой функцией от х. Если , то и , где U = U(x) – функция, имеющая непрерывную производную.

На основании определения неопределённого интеграла и его свойств можно записать следующую таблицу интервалов (таблица 9).

Таблица 9 - Таблица интегралов

Название интеграла	Простые функции	№	Сложные функции
От дифференциала
От степенной функции	, n - число
От показательной функции	, а - число
От экспоненты
От синуса
От косинуса
От тангенса
От котангенса
Интеграл, дающий тангенс
Интеграл, дающий котангенс
Интегралы, применяемые к дробям, знаменатели которых находятся в первой степени
Интеграл, дающий логарифм знаменателя
Интеграл, дающий арктангенс
Интеграл, дающий «высокий логарифм»
Интегралы, применяемые к дробям из знаменателя которых извлекается квадратный корень
Интеграл, равный удвоенному знаменателю
Интеграл, дающий арксинус
Интеграл, дающий «длинный логарифм»

Методы интегрирования

Рассмотрим основные методы интегрирования: табличное интегрирование, интегрирование по частям, интегрирование методом замены переменной.

а) табличным интегрированием называется метод, при котором данный интеграл путем алгебраических, тригонометрических или других тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределённого интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

Пример 53. Вычислить интегралы: а) ; б) ; в) ; г) . Решение. а) Постоянный множитель вынесем за знак интеграла и найдём неопределённый интеграл от степенной функции хⁿ:

.

б)Подынтегральная функция представляет собой сложную степенную функцию, интеграл от которой по формуле 2 таблицы интегралов должен содержать производную её основания u , т.е. u' = 3. Умножим подынтегральное выражение на 3, а затем вынесем за знак интеграла множитель , называемый «корректирующем» множителем. Эти рассуждения будем оформлять в квадратных скобках, стоящих после интеграла, т.е.:

.

в) Раскрываем скобки, а затем применяем табличные интегралы 6 и 2:

г)Разделим почленно числитель на знаменатель, и применим табличные интегралы 16,14:

.

б) Интегрированием по частям называется метод нахождения интеграла по формуле: , (8.1)

где - непрерывно дифференцируемые функции.

Во многих случаях эта формула позволяет перейти от более сложного интеграла к более простому . При этом u называют дифференцируемым множителем, т. к. в процессе применения формулы его приходится дифференцировать; по той же причине называют интегрируемым множителем. При этом за u берется такая функция, которая при дифференцировании упрощается, а за - та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой во многих случаях является или сводится к табличному.

Укажем некоторые типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям.

где - многочлен степени n, α, β – числа.

Пример 54. Найти интегралы: а) , б) .

Решение. Так как под знаком интеграла стоит произведение многочлена 1-й степени на тригонометрическую функцию, то применяя формулу интегрирования по частям (8.1), получаем:

а)

.

Так как неопределённый интеграл содержит одну произвольную постоянную, то при нахождении функции υ по её известному дифференциалу dυ можно брать одну первообразную (С =0).

б)

в) Метод замены переменной или метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования и приведении данного интеграла к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся.

Пусть требуется вычислить , причём непосредственно подобрать первообразную для f(x) нельзя, но известно, что она существует. Заменим в подынтегральном выражении переменную х некоторой функцией, имеющей непрерывную производную: . Тогда и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования получаем формулу замены переменной в неопределённом интеграле:

. (8.2)