Односторонние пределы. Непрерывность функции. Точки разрыва и их классификация

Если ищется предел функции при условии, что аргумент x, стремясь к своему предельному значению х₀, может принимать только такие значения, которые меньше х₀, то этот предел, если он существует, называется левосторонним (левым) пределом данной функции в точке и обозначается так: , или .

Если ищется предел функции при условии, что аргумент x, стремясь к своему предельному значению х₀, может принимать только такие значения, которые больше х₀, то этот предел, если он существует, называется правосторонним (правым) пределом данной функции в точке и обозначается так: , или .

Наличие конечных односторонних пределов связано с существованием предела в рассматриваемой точке: предел функции в точке х₀ существует и равен числу а, если существуют равные этому же числу односторонние пределы.

Наиболее важным классом функций является класс непрерывных функций. Понятие непрерывности функции тесно связано с геометрическим изображением функции – её графиком.

Очевидно, что непрерывность функции в данной точке выражается непрерывностью её графика при прохождении данной точки (без отрыва карандаша от листа бумаги).

Определение. Функция непрерывна в точке , если выполняются следующие условия: 1) функция определена в точке х₀, т.е. существует ;

2) функция имеет при конечные и равные между собой односторонние пределы;

3) односторонние пределы при совпадают со значением функции в точке х₀, т.е. .

Если для данной функции в точке хотя бы одно из перечисленных трёх условий не выполняется, то функция называется

разрывной в точке , а точка х₀ - точкой разрыва.

Точка называется точкой разрыва первогорода, если односторонние пределы функции слева и справа в этой точке существуют, но не равны между собой (неустранимый разрыв) или равные односторонние пределы не совпадают со значением функции в данной точке (устранимый разрыв).

Если же хотя бы один из односторонних пределов функции в точке не существует или равен бесконечности, то точка называется точкой разрыва второгорода. Всё это время мы говорили о непрерывности функции y = f(x) в точке . Введём определение непрерывности функции на интервале.

Определение. Функция y = f(x) называется непрерывной на интервале (a,b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Можно доказать, что все основные элементарные функции непрерывны при всех значения х, для которых они определены. Сформулируем теорему, позволяющую исследовать функцию на непрерывность.

Теорема: Всякая элементарная функция непрерывна в своей области определения.

на непрерывность, т.е. найти точки разрыва

если они есть; и установить характер точек разрыва.

Сделайте схематический чертёж.

Решение. Находим область определения функции: . . Рисунок 34

Функция непрерывна на всей числовой оси, кроме . Точка - точка разрыва. Определим характер точки разрыва. Найдём односторонние пределы в этой точке: , так как знаменатель стремится к нулю, оставаясь положительным; , так как знаменатель стремится к нулю, оставаясь положительным. Следовательно, х=-1 точка разрыва II рода (рисунок 34).