Смешанное произведение трёх векторов

 

Определение. Смешанным произведением трёх векторов , , называется их векторно – скалярное произведение:

( )· , которое обозначается .

Если некомпланарные векторы , , приведены к общему началу, то абсолютная величина ихсмешанного произведения равна объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах как на рёбрах (рисунок 2).

V = | |. (2.10)

Три ненулевых вектора компланарны (т.е. лежат

Н в одной плоскости или в параллельных плоско-

стях) тогда и только тогда, когда их смешан-

ное произведение равно нулю, т.е

Рисунок 2

, , - компланарны (2.11)

Пусть векторы , и заданы своими координатами: = ,

= и .

Тогда смешанное произведение равно определителю третьего порядка, составленному из координат векторов , , :

= . (2.12)

Пример 15. Найти объём треугольной пирамиды с вершинами в точках

А(-1; 1; 0), В (2; -2; 1), С(3; 1; -1) и D(1; 0; -2).

Решение. Рассмотрим векторы , и . Из школьного курса геометрии известно, что искомый объём пирамиды равен 1/6 объёма параллелепипеда, построенного на векторах и (рисунок 3).

По формуле (2.12) найдём смешанное произведение векторов , , :

= =

.

Рисунок 3 Тогда, (куб. ед.)

Ответ: (куб. ед.).

D

Пример 16. Показать, что точки А(3; 5; -4), В (1; -1; -3), С(7; 2; -6) и D(-1; 3; -2) принадлежат одной плоскости.

Рисунок 4

С

В

А

Решение. Данные точки будут лежать в одной плоскости, если векторы , и компланарны (рисунок 4). Учитывая условие компланарности (2.11) необходимо убедиться в том, что смешанное произведение образованных векторов равно нулю: = 0. Сделайте это самостоятельно.

 

 

Аналитическая геометрия на плоскости

Простейшие задачи

Если на плоскости задана прямоугольная декартова система координат ХОУ, то точку М этой плоскости, имеющую координаты х и у, обозначают М(х; у).

Расстояние d между точками М₁(х₁; у₁) и М₂(х₂; у₂) рассматривается как длина соответствующего вектора и определяется по формуле:

. (3.1)

Разделить отрезок М₁М₂ в заданном отношении l>0 - это означает, найти точку С(х; у) такую, что . (3.2)

Если известны координаты концов отрезка, т.е. точки М₁(х₁; у₁) и

М₂(х₂; у₂), то координаты точки С(х; у), определяемой соотношением (3.2), находятся по формулам:

. (3.3)

В частности, при l=1 получаем формулы для координат середины отрезка М₁М₂: . (3.4)

Понятие о методе координат

 

В аналитической геометрии изучаются геометрические объекты аналитическими методами. Основным методом изучения является метод координат. Схематически этот метод состоит в следующем.

Геометрический объект рассматривается в системе координат (на плоскости или в пространстве). Текущей точкой называют такую точку, которая меняется на изучаемом объекте. Эта точка не может иметь произвольные координаты, её координаты обязательно связаны так, чтобы точка не сходила с объекта. По имеющимся геометрическим описаниям (определениям) объекта устанавливаются связи (или связь) между координатами текущей точки. Эти связи или связь называют уравнениями или уравнением геометрического объекта. После получения уравнений их изучают, а затем делают выводы о самом объекте.

 

Прямая на плоскости

 

Прямая – один из неопределяемых геометрических объектов. Однако, имеются различные описания прямой. Пользуясь ими, можно доказать следующее утверждение.

Теорема. Всякое уравнение первой степени относительно текущих

координат х и у , (3.5)

где А и В одновременно не равны нулю, определяет прямую в декартовой системе координат и наоборот, всякой прямой соответствует уравнение вида (3.5).

В связи с этим, уравнение (3.5) называется общим уравнением прямой.

Пример 17. Построить прямую 2 х – 3 у + 6 = 0.

Решение. Для построения прямой достаточно знать какие – либо две её точки, например, точки её пересечения с осями координат.

у с ОХ: полагаем у = 0, имеем 2 х + 6 = 0

или х = -3, т.е. А (-3; 0);

2 В с ОУ: полагаем х = 0, тогда - 3 у + 6 = 0

b

j

или у = 2, т.е. В(0; 2).

А Строим прямую, проходящую через

-3 0 х найденные точки А и В (рисунок 5).

Рисунок 5

Если общее уравнение прямой (3.5) привести к виду:

, (3.6)

то получим уравнение прямой с угловым коэффициентом k, который определяется как тангенс угла наклона j этой прямой к оси Ох т.е. k = tgφ, b = ОВ - начальная ордината (рисунок 5).

Если известна точка А (х₀; у₀), лежащая на прямой, и угловой коэффициент k, то уравнение прямой записывается в виде:

у – у₀ = k · (х – х₀). (3.7)

Уравнение (3.7) называют уравнением прямой, проходящей через заданную точку в данном направлении или уравнением пучка прямых.

Если известны две точки М₁(х₁; у₁) и М₂ (х₂; у₂), лежащие на прямой, то уравнение можно записать в виде:

. (3.8)

Уравнение (3.8) называют уравнением прямой, проходящей через две точки.

Условие параллельности двух прямых состоит в равенстве их угловых коэффициентов: k₁ = k₂, (3.9)

а условие перпендикулярности - в выполнении соотношения:

k₁ · k₂ = -1. (3.10)

 

Пример 18. Даны вершины треугольника АВС: .

Требуется найти:

1) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты;

2) уравнение медианы АМ;

3) уравнение высоты СН;

4) уравнение прямой l, проходящей через вершину В параллельно стороне АС.

Сделайте чертёж.

Решение. 1) Для составления уравнений сторон АВ и АС воспользуемся уравнением (3.8). Подставляя в (3.8) координаты точек А и В, получаем: ; ; ; ; ; ; или (АВ).

Чтобы найти угловой коэффициент прямой АВ, решим полученное уравнение относительно y: ; , следовательно, . Аналогично, для составления уравнения стороны АС в (3.8) подставляем координаты точек и . Имеем: ;

; ; ; или (АС).

Находим угловой коэффициент прямой АС: ; ,

следовательно, .

2) Для составления уравнения медианы АМ найдём координаты точки М, как середины стороны ВС, используя формулы деления отрезка пополам (3.4). Подставляя в (3.4) координаты точек В и С имеем: ; . Зная координаты двух точек и , лежащих на медиане (АМ), и используя формулу (3.8), получим её уравнение:

; ; ; ;

(АМ).

3) Для того, чтобы найти уравнение высоты СН, воспользуемся уравнением пучка прямых (3.7). Так как , то из условия перпендикулярности (3.10) имеем: . Подставляя в (3.7) координаты точки С и значение углового коэффициента , получаем или , или (СН).

А

С

В

М

Н

l

x

y

–3

–2

4) Для составления уравнения прямой l, проходящей через вершину В параллельно стороне АС воспользуемся также

уравнением (3.7). Так как // АС, то

(воспользовались равенством (3.9)).

Подставляя в (3.7) координаты точки В и

значение углового коэффициента , получаем:

; ; или

(l). Строим чертёж. (рисунок 6)

 

Рисунок 6

Кривые второго порядка

Определение. Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно текущих декартовых координат х и у:

, (3.11)

где А, В, С, D, Е, F – действительные числа, при этом А, В, С не равны нулю одновременно. Уравнение (3.11) называется общим уравнением кривой второго порядка.

В зависимости от коэффициентов уравнение (3.11) определяет одну из четырёх кривых на плоскости: окружность, эллипс, гиперболу, параболу.

Окружность

Определение. Окружность – это множество точек плоскости, равноуда-

лённых от данной точки (центра).

Если R – радиус окружности, а точка – её центр, то

каноническое уравнение окружности имеет вид:

. (3.12)

В частности, если центр окружности совпадает с началом координат, то последнее уравнение примет вид: .

 

Выясним, при каких условиях общее уравнение кривой второго порядка (3.11) является уравнением окружности.

Для этого раскроем скобки в каноническом уравнении (3.12):

, или

. (3.13)

Чтобы уравнения (3.11) и (3.13) представляли одну и ту же линию, коэффициент С должен быть равен нулю (так как нет произведения в (3.11)), а коэффициенты при квадратах переменных равны между собой: .

Тогда получаем уравнение:

, (3.14)

называемое общим уравнением окружности.

Пример 19. Построить кривую 9х² + 9у² – 72х + 18у + 117 = 0.

Так как в данном уравнении коэффициенты при квадратах переменных равны между собой и отсутствует произведение , то это уравнение определяет окружность.

Решение. Приведём данное уравнение к каноническому уравнению вида (3.12). Для этого разделим все его члены на 9, а затем сгруппируем отдельно члены, содержащие х и у:

(х² – 8х) + (у² + 2у) + 13 = 0. Дополним выражения,

стоящие в каждой из скобок, до полного квадрата

используя формулу сокращённого умножения

:

(х² – 2·х·4 + 4²)- 4² + (у² + 2·у·1 + 1²) – 1² + 13 = 0 Рисунок 7

или (х – 4)² + (у + 1)² – 4=0, откуда (х – 4)² + (у + 1)² =4.

Сравнивая это уравнение с уравнением (3.11), получим координаты центра и радиус окружности: и . Строим окружность(рисунок 7).

Эллипс

Определение. Эллипс - это множество точек плоскости, сумма расстояний которых до двух фиксированных точек и , называемых фокусами, есть величина постоянная и равная 2а.

Уравнение (3.15)

называется каноническим уравнением эллипса, где (х, у) – координаты текущей точки; а - большая полуось, b – малая полуось.

Точки А₁ (- а; 0) и А₂ (а; 0), В₁ (0;- b) и В₂ (0; b) - точки пересечения

эллипса с его осями симметрии (координатными осями), называются вершинами эллипса. Отрезки А₁А₂ и В₁В₂, длины которых соответственно равны 2а и 2b, называются соответственно большой и малой осями эллипса. Расстояние между фокусами F₁ и F₂ обозначается 2 с.

Если в уравнении эллипса (3.15) а > b (рисунок 8), то , а фокусы имеют координаты: F₁ (-c; 0) и F₂(с; 0).

Если же а < b ( рисунок 9), то , F₁ (0; -с) и F₂(0; с).

Рисунок 8 Рисунок 9

Пример 20. Построить эллипс 9 х ² + 25 у ² – 225 = 0.

Решение. Приведём данное уравнение к

каноническому виду (3.15), для чего

свободный член уравнения перенесём

вправо и затем разделим на него все

члены уравнения. Получим .

Откуда а ²=25Þ а =5 – большая полуось;

b ² =9Þ b =3 – малая полуось. Рисунок 10

Координаты вершин эллипса А₁ (-5;0), А₂ (5;0), В₁ (0; -3) и В ₂ (0; 3).

Так как а>b, то с²=а² - b² = 25 – 9=16 с=4 и фокусы имеют координаты F ₁(-4;0) и F ₂(4;0) (рисунок 10).

Форму эллипса характеризует число , называемое эксцентриситетом. Для эллипса .

Гипербола

Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, разность расстояний которых до двух фиксированных точек F ₁ и F ₂, называемых фокусами, есть величина постоянная и равная ±2а.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

(3.16)

или , (3.17)

где . (3.18)

В формулах (3.16) – (3.17) (х, у) – координаты текущей точки, а - действительная полуось, b – мнимая полуось гиперболы.

Гипербола имеет две оси симметрии (координатные оси), с одной из которых она пересекается в двух точках, называемых вершинами. Вершины гиперболы и её фокусы расположены на действительной оси гиперболы.

Так, для гиперболы, заданной уравнением (3.16), отрезок A₁A₂ длиной 2а и расположенный на оси ОХ является действительной осью, точки А₁(- а; 0) и А₂ (а; 0) – вершинами, а точки F₁ (- c; 0) и F₂(с; 0) – фокусами (рисунок 11).

Для гиперболы, заданной уравнением (3.17), действительной осью является отрезок B₁B₂длиной 2b оси ОУ, вершинами – точки В₁(0; - b) и

В₂(0; b), а фокусами – точки F₁ (0; -с) и F₂(0; с) (рисунок 12).

 

 

Рисунок 11 Рисунок 12

Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых

и (3.19)

Форму гиперболы характеризует число , называемое эксцентриситетом гиперболы. Для гиперболы .

 

Пример 21. Построить гиперболу 9х² – 16у² - 144 = 0.

Решение. Перенесём свободный член вправо и разделим на него все члены данного уравнения. В результате получим каноническое уравнение гиперболы: 9х² – 16у² = 144, или , или .

Сравнивая это уравнение с уравнением (3.16), имеем а = 4 - действительная полуось, b = 3 – мнимая полуось.

Координаты вершин А₁(-4;0) и А₂(4;0). Для построения гиперболы построим прямоугольник с центром в начале координат и со сторонами 2а = 8 и 2b =6, проведём его диагонали и продолжим их. Эти прямые и есть асимптоты гиперболы и их уравнения: и .

Рисунок 13 По формуле (3.18) с² = 16 + 9 = 25, с= 5. Тогда фокусы имеют координаты F₁ (-5;0) и F₂(5;0) (рисунок 13).

Парабола

Определение Параболой называется множество точек плоскости, равноудалённых от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Величина р, равная расстоянию от фокуса до директрисы, называется параметром параболы; прямая, проходящая через фокус параболы перпендикулярно её директрисе, называется осью.

Канонические уравнения параболы имеют вид:

у² = 2рх (рисунок 14) (3.20) у² = - 2рх (рисунок 15) (3.21)

х² = 2ру (рисунок 16) (3.22) х² = -2ру (рисунок 17) (3.23)

Вершины таких парабол расположены в начале координат, т.е. в точке О(0,0).

 

Рисунок 14 Рисунок 15 Рисунок16 Рисунок 17

 

Уравнение у = ах² + bх + с (а 0) (3.24)

определяет параболу, ось которой параллельна оси ОУ, а вершина находится

в точке О₁(х₀; у₀), где , у₀ = у(х₀) (3.25)

Пример 22. Определить вид и построить кривую 24 х + 3 у²= 0.

Решение. Так как в данном уравнении одна переменная (х) входит в первой степени, а другая - (у), во второй, то оно определяет параболу. Приведём уравнение кривой к каноническому виду: 3у² = - 24х, или у² = - 8х. Сравнивая это уравнение с уравнением (3.21), находим, что 2р = 8, откуда . Таким образом, точка F (-2; 0) – фокус параболы, а прямая х = 2 – её директриса. Для того, чтобы узнать размах ветвей, найдём пару точек, принадлежащих параболе: полагая х = -2 и подставляя это значение в каноническое уравнение параболы, имеем у² = 16 Þ у =± 4 Þ А₁(-2; 4) и А₂ (-2; -4) (рисунок 18).

 

Пример 23. Определить вид и построить кривую 2 х² - 4 х + 2 у – 6 =0.

Решение. Приведём уравнение к виду (3.24): у = - х ² + 2 х + 3. Напомним построение параболы, заданной уравнением у = ах²+bx+c. В нашем примере

а = -1, b = 2, с = 3. Ось симметрии данной параболы параллельна оси Оу. Так как , то ветви параболы направлены вниз. Найдём координаты вершины параболы, используя формулы (3.25): , ,

у₀ = у(1) = -1² +2 · 1 + 3 = 4 О₁(1;4) - вершина. Затем найдём точки пересечения параболы с координатными осями. С ОХ: полагаем у = 0, имеем

- х² + 2х + 3 = 0, решая это уравнение, получим х₁ = -1, х₂ = 3 Þ В₁ (-1; 0) и В₂ (3; 0); с ОУ: полагаем х = 0, подставляя это значение в уравнение параболы, имеем у = 3 Þ С (0; 3). Отмечая на чертёже все найденные точки и соединяя их плавной кривой, построим искомую параболу (рисунок 19).

Рисунок 18 Рисунок 19

Пример 24. Составьте уравнение прямой, проходящей через центр окружности и левый фокус эллипса . Сделайте чертёж.

Решение. Чтобы узнать координаты центра окружности О ₁, приведём уравнение к каноническому виду: .

Сгруппируем члены, содержащие x и y: .

Дополним выражения, стоящие в скобах, до полного квадрата: или .

Сравнивая полученное уравнение с уравнением (3.12), получим

О ₁(4;–5) – центр окружности, R =2 – её радиус.

Для нахождения координат фокуса эллипса приведём его уравнение к

каноническому. Разделим обе части уравнения на 400:

или . Тогда имеем – большая полуось, - малая полуось. Так как , то , .

x

О1

l

y

Следовательно, левый фокус эллипса имеет координаты . Искомое уравнение прямой ищем в виде уравнения прямой, проходящей через две данные точки и : или ; ; ; - .

Рисунок 20 Сделаем чертёж (рисунок 20).