Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена

Определение. Степенной ряд вида:

(10.8)

где функция определена в некоторой окрестности точки и имеет в этой окрестности производные любых порядков, называется рядом Тейлора функции в окрестности .

Определение. Частный вид ряда Тейлора при

(10.9)

называется рядом Маклорена.

Теорема. Пусть - внутренняя точка интервала сходимости ряда Тейлора

функции , тогда .

Другими словами, в каждой такой точке ряд Тейлора функции сходится к значению функции.

Разложение функций в ряд Тейлора можно получить, исходя из известных разложений. При этом можно выполнять следующие действия над степенными рядами внутри их интервала сходимости:

1) два степенных ряда можно почленно складывать и умножать (по правилу умножения многочленов);

2) степенной ряд можно почленно умножить на общий множитель;

3) степенной ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать любое число раз.

Приведём ряды Маклорена наиболее часто встречающихся функций:

(10.10)

(10.11)

(10.12)

(10.13)

(10.14)

(10.15)

Применение степенных рядов к приближённым вычислениям

Для приближённого вычисления значения функции при помощи ряда следует: 1) по заданному числовому выражению подобрать подходящую функцию; 2) найти подходящую точку, в которой эта функция может быть разложена в ряд Тейлора. При этом интересующее нас значение должно являться значением этого ряда Тейлора в некоторой точке интервала сходимости; 3) пользуясь предыдущими пунктами, получить для интересующего нас числового выражения ряд, при помощи которого найти приближённое значение.

Пример 88. Вычислить с точностью e = 0,001.

Решение. При вычислении корней воспользуемся биномиальным рядом (10.13). Очевидно, что , но выбор в качестве х = 33 невозможен, т.к.

33 Ï (– 1; 1). Преобразуем подкоренное выражение следующим образом: . Таким образом, х = 0,0625. Используя биномиальный ряд, получаем:

Так как ряд знакочередующийся и , то по признаку Лейбница , и для получения требуемой точности достаточно взять первые два члена ряда, следовательно, . Тогда .

Пример 89. Вычислить sin7⁰ с точностью e = 0,01.

Решение. Для вычисления значений тригонометрических функций необходимо градусное измерение аргумента перевести в радиальное:

1⁰ » 0,01745 рад, 7⁰ » 0,122 рад, поэтому, используя ряд (10.11), получим:

Для достижения нужной точности достаточно взять один член ряда, так как . Тогда sin7⁰ ≈ 0,122≈0,12.

Пример 90. Вычислить с точностью e = 0,001.

Решение. . Воспользуемся рядом (10.10) и, положив , получим:

Так как ряд знакочередующийся, то, ввиду признака Лейбница и того, что , то достаточно ограничиться первыми четырьмя членами ряда: .

Пример 91. Вычислить ln1,4 с точностью e = 0,01.

Решение. Для вычисления логарифмов можно воспользоваться рядом (10.14):

Для достижения заданной точности достаточно взять первые три члена ряда, т.к. . Тогда ln1,4 » 0,4 – 0,08 + 0,021 = 0,341 » 0,34.

Теория вероятностей и математическая статистика

Элементы комбинаторики

При решении ряда теоретических и практических задач требуется из конечного множества элементов по заданным правилам составлять различные комбинации и производить подсчет числа всех возможных таких комбинаций. Такие задачи принято называть комбинаторными.

Комбинаторика широко применяется в теории вероятностей.

Определение. Упорядоченные подмножества данного конечного множества называются размещениями.