Теоремы сложения и умножения вероятностей




 

Будем рассматривать некоторый опыт и систему элементарных событий А, В, С,.... , каждое из которых является случайным. Между этими событиями могут существовать некоторые отношения.

Определение. Суммой А+ ВсобытийАиВ называется событие, состоя-

щее в наступлении хотя бы одногоиз событий А или В.

Определение. Произведением А · ВсобытийА иВназывается событие,

состоящее в совместном появлении А иВ.

Например: Пусть А - попадание в цель при первом выстреле;

В - попадание в цель при втором выстреле.

Тогда событие А + В - хотя бы одно попадание при двух выстрелах, т.е. или первое попадание, второй промах; или первый промах, второе попадание; или два попадания.

Событие А · В - ипри первом, и при втором выстрелах попадание в цель.

Определение. Противоположным событию А называется событие ,

состоящее в не наступлении А.

Теорема 1. (сложения вероятностей несовместных событий )

Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме их вероятностей: А1, А2 , ..., Аn - несовместны Þ

Р( А1+ А2 +... + Аn ) = Р(А1) + Р(А2) +... + Р(Аn) .

Для двух событий: А, В несовместны Þ

Р( А + В ) = Р(А) + Р(В) .

Следствие 1. Если события А1, А2, ... Аn образуют полную группу несовмест-

ных событий , то Р(А1) + Р( А2) + ... + Р( Аn) = 1.

Следствие 2.Так как события Аи образуют полную группу несовмест-

ных событий, то Р(А) + Р( ) = 1.Отсюда: Р(А)=1- Р( ) .

 

Теорема 2. (сложения вероятностей совместных событий )

Вероятность суммы совместных событий АиВ равна сумме вероятностейэтих событий без вероятности их совместного появления:

  Рисунок 3
Р(А) + Р( В) = Р( А ) + Р( В )- Р( АВ ) .

Теорема 3. (сложения вероятностей для k совместных событий ):

Если событияА1, А2, …, Аk – совместны, то вероятность появления хотя бы одного из совместных событий А1, А2, …, Аk равна разности между единицей и вероятностью того, что ни одно из них не наступит:

.

 

Пример 99.Мишень разделена на три зоны. Вероятность попадания в первую зону равна 0,1, во вторую - 0,3, в третью - 0,4. Найти вероятность попадания в мишень и вероятность промаха при одном выстреле.

Решение. Обозначим события Аi - попадание в i-ю зону ( i = 1,2,3 ). Тогда, по условиюР(А1 )=0,1 ; Р( А2) = 0,3 ; Р( А3 ) = 0,4 .

Событие А – «попадание в мишень», т.е. либо в первую, либо во вторую, либо в третью зоны , можно представить через Аi следующим образом :

А = А1 + А2 + А3 . Так как события Аi - несовместны, то

Р( А ) = Р( А1 ) + Р( А2 ) + Р( А3 ) =0,1 +0,3 +0,4 = 0,8.

«Промах »- это событие противоположное событию А, следовательно,

.

Ответ: а) ; б) .

Определение. События А иВ называютсянезависимыми, если вероятность наступления одного из них не зависит от того, наступило или нет другое, в противном случае события называются зависимыми.

 

Теорема 4. (умножения вероятностей независимых событий)

Вероятность произведения независимых событийА и Вравна произведению их вероятностей, т.е. .

Следствие. Если события А1, А2, ... Аn независимы в совокупности, то

Определение.Подусловной вероятностью события В по отношению к

событию А(обозначение Р(В / А )) понимается вероятность

осуществления события В, определённая в предположении,

что событие Аимело место.

Теорема 5. (умножения вероятностей зависимых событий )

Вероятность произведения двух событий А и Вравна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, т.е.

Р( А×В ) = Р( А ) ×Р( В / А ) .

Следствие. Вероятность произведения n зависимых событий :

Р( А1× А2× ...× Аn ) = Р( А1 )× Р( А2 / А1 )×Р( А3/ А1А2 )× ...×Р(Аn / А1А2...Аn-1 ) .

Пример 100. Многолетними наблюдениями установлено, что в данном районе в сентябре в среднем 10 дней бывают дождливыми. Совхоз должен в течение первых трёх дней сентября выполнить определённую работу.

Определить вероятность того, что ни один из этих дней не будет дождливым.

Решение. Пусть события Аi – «i -го сентября дождя не будет», (i = 1,2,3.) Тогда событие А – «в течение первых трёх дней сентября дождя не будет», можно представить как произведение событий, т.е. А1×А2×А3. Вероятность того, что в какой-то наудачу взятый день сентября (пусть это будет 1-го) дождя не будет, равна: Р(А1)= 20/30. Вероятность события А2 – «2-го сентября дождя не будет», можно найти лишь при условии, что известна погода 1-го сентября и т. д. То есть события А1, А2, А3 -зависимые. Найдём условную вероятность Р2 /А1), т.е., что «дождя не будет 2-го при условии, что 1-го сентября его не было»:

Р(А2/А1) =19/29. Далее, Р(А3/ А1А2 ) – «вероятность того, что 3 –го сентября дождя не будет, если его не было 1-го и 2-го», равна: Р(А3/А1А2)=18/28. Итак, .

Ответ: .

Пример 101. В первой группе 18 студентов, из них 3 отличника .Во второй группе- 20 студентов, из них 5 отличников. Наугад выбирают по одному студенту из каждой группы. Какова вероятность, что оба студента отличники?

Решение. Рассмотрим следующие элементарные события:

А – «студент, выбранный из первой группы - отличник»,

В – «студент, выбранный из второй группы -отличник»,

Тогда, событие – «оба студента отличники» - можно представить как произведение А × В, т. е. «и А, и В». При этом А и В - независимые события и

Р(А)=3/18 = 1/6, Р(В) = 5/20= 1/4.

Тогда, Р(АВ)= Р(АР(В) = (1/6) ×(1/4) = 1/24.

Ответ: Р(АВ) = 1/24.

 

Пример 102. В условиях предыдущей задачи определить вероятность того, что один из выбранных студентов отличник, а другой – не является отличником.

Решение. Рассмотрим следующие элементарные события:

А1-студент, выбранный из первой группы - отличник, Р(А1)=1/6;

А2-студент, выбранный из второй группы -отличник, Р(А2)=1/4;

В1 -студент, выбранный из первой группы не является отличником, Р(В1) =5/6; В2-студент,выбранный из второй группы не является отличником, Р(В2)=3/4.

Тогда вероятность того, что студент, выбранный из первой группы отличник, , а из второй группы - не отличник:

Р(А1В2 )=Р(А1) × Р(В2)= (1/6)× (3/4)=1/8. Определим теперь вероятность того, что студент из первой группы не отличник , из второй - отличник : Р(А2В1)= Р(А2) × Р(В1)= (1/4) (5/6)=5/24. Чтобы определить вероятность того, что студент, выбранный из группы (безразлично какой), окажется отличником, а из другой группы не отличником, применим теорему сложения для несовместных событий А1В2 и А2В1: Р= Р(А1В2)+Р(А2В1)=1/8+5/24 =1/3.

Ответ: Р = 1/3.

 

Пример 103. В городе 2 коммерческих банка, оценка надёжности которых –

0,95 и 0,85 соответственно. В связи с определением хозяйственных перспектив развития города администрацию интересуют ответы на следующие вопросы:

а) какова вероятность того, что в течение года обанкротится только один банк; б) что обанкротится хотя бы один банк?

Решение. Обозначим событие А1- «обанкротился первый банк»;

А2 - «обанкротился второй банк». Тогда , а) Событие А - «обанкротится только один банк» означает, что либо обанкротится первый банк и второй останется надёжным, либо обанкротится второй банк и первый останется надёжным. То есть

. Учитывая, что события и несовместны, а события и и и - независимы , имеем:

б) Событие В – «обанкротится хотя бы один банк » означает, что либо обанкротится первый банк и второй останется надёжным, либо обанкротится второй банк и первый останется надёжным, либо они оба обанкротятся. Такую задачу более рационально решать через противоположное событие. Событие - «ни один из банков не обанкротится » (и первый, и второй останутся надёжными). Тогда . Окончательно

Ответ: а) , б) .

 





©2015-2017 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.

Обратная связь

ТОП 5 активных страниц!