Если ряд 
сходится, то его n -ый член при неограниченном возрастании номера n стремится к нулю, т.е. 
сходится Þ 
.
Достаточный признак сходимости ряда.
Если n -ый член ряда при неограниченном возрастании его номера n не стремится к нулю, то этот ряд расходится: 
- расходится.
Заметим, что если предел общего члена ряда равен нулю, то вывод о сходимости или расходимости ряда можно Сделайте после дополнительного исследования.
Пример 81. Установить выполняется ли необходимое условие сходимости ряда: 
.
Решение. 
, т.е. необходимый признак сходимости не выполняется, следовательно, ряд расходится.
Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
Признак сравнения (предельная форма)
Если 
и 
два ряда с положительными членами и существует конечный предел отношения их общих членов, отличный от нуля, то ряды одновременно сходятся или расходятся: 
ведут себя одинаково.
Замечание. Признак сравнения, в основном, следует применять к тем знакоположительным рядам, у которых общий член представляет собой отношение двух многочленов.
При исследовании рядов на сходимость с помощью признака сравнения необходимо иметь ряды, сходимость или расходимость которых заранее известна, т.е. так называемые “эталонные ряды”, представлены в таблице15.
Таблица15 – Эталонные ряды
| Вид ряда | Название ряда | Поведение ряда |
| Гармонический | Расходится |
| Обобщенный гармонический (или ряд «р») | При р > 1 - сходится, при р £ 1 -расходится |
| Ряд, члены которого образуют геометрическую прогрессию | При  - сходится, при  - расходится
|
Пример 82. Используя признаки сравнения, исследовать на сходимость следующий ряд: 
.
|
|
Решение. 
.
Применим к э тому ряду предельный признак сравнения, обозначив общий член исследуемого ряда как 
.
В качестве «эталонного» ряда возьмем обобщенный гармонический ряд
с общим членом 
.
Применяя предельную форму признака сравнения, найдём предел отношения
: 
.
Предел конечен и отличен от нуля, следовательно, на основании предельного признака сравнения заключаем, что исследуемый ряд и «эталонный» ряд ведут себя одинаково. «Эталонный» ряд сходится, поэтому исследуемый ряд тоже сходится.
Признак Даламбера
Если для знакоположительного ряда 
существует предел отношения последующего члена к предыдущему при неограниченном возрастании номера n, т.е. 
, то при 
- ряд сходится, а при 
- расходится.
Замечания. 1. Если 
, то ряд также расходится.
2. Если 
, то признак Даламбера ответа о сходимости ряда не дает (т.е. ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся). В этом случае рекомендуется перейти к другим достаточным признакам.
Признак Даламбера удобно применять для тех рядов, у которых общий член содержит степени, факториалы, нарастающие произведения.
Пример 83. Исследовать ряд на сходимость, применяя признак Даламбера:. 
. Для нахождения последующего члена 
необходимо в общем члене заменить n на n +1:
Решение. Общий член ряда равен: 
. 
.
Так как 
, то по признаку Даламбера ряд сходится.