В XVI в., в связи с изучением кубических уравнений при выводе формулы для нахождения их корней, появлялись корни арифметические из отрицательного числа, хотя конечный результат давал действительный корень уравнения.
Своим введением в математику комплексные числа обязаны желанием извлечения корней четной степени из любого действительного числа, и отрицательного в том числе.
Самого по себе желания, конечно, недостаточно, тем более, что в то время потребности практически всегда вполне удовлетворялись вещественными числами. Уже отмечалось, что если решать уравнения традиционными методами, то в процессе преобразования до результата встречался квадратный корень из отрицательного числа (например, в формуле Кардано), хотя конечный результат был числом действительным. Поэтому корни из отрицательных чисел использовались без объяснения причин, а получаемые промежуточные числа называли мнимыми.
В конце 18-го века Ф. Гаусс (1777-1855) ввел комплексные числа, дал им геометрическую интерпретацию и доказал (1799) в частном случае основную теорему алгебры, о том, что каждый многочлен с действительными коэффициентами имеет хотя бы один действительный или комплексный корень.
Будем считать, что известны множество вещественных чисел и правила действий над ними. Рассмотрим уравнение 
. Применяя к нему обычные правила нахождения корней, получим 
. Допуская, что решение этого уравнения существует и 
, мы приходим к тому, что 
. В области действительных чисел такого числа нет. Тогда, объявляя i новым числом, мы присоединяем его к множеству действительных чисел. Предполагая выполнение для этого числа операций сложения и умножения, мы будем иметь для любых 
числа 
, 
, 
, хотя – частный случай 
при 
. Тем самым мы получили новые числа 
, где . Выражение называется алгебраической формой записи комплексного числа z. Отсюда следует, что множество действительных чисел есть подмножество нового числового множества – комплексных чисел. Таким образом, множество комплексных чисел
, .
Оправдалось предположение Дж. Кардано: с мнимыми числами можно действовать по правилам обычной алгебры, то есть писать, при 
, 
. Пусть комплексное число 
, тогда 
, а 
, где Re сокращение от Real (действительный), а Im – от Imaginares (мнимый). Говорят, 
– действительная часть, 
– мнимая часть комплексного числа z. Эти обозначения введены для удобства работы с комплексными числами [3, 7].
Отталкиваясь от алгебраической формы записи комплексного числа, определим поле комплексных чисел. Пусть даны два комплексных числа 
, 
, 
, 
, тогда
1) 
Û 
, 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
.
Число 
называется комплексно сопряженным числу 
, при этом 
.
Модулем комплексного числа называется действительное число 
.
, 
, имеет место:
1) 
;
2) 
(неравенство треугольника);
3) 
(неравенство Коши-Буняковского).
Геометрически комплексное число z представимо точкой A на плоскости с заданной декартовой системой координат. Ось Ox называется действительной осью, а ось Oy – мнимой, тогда для ставится в соответствие точка 
или вектор 
, 
, 
(рис. I.1).
Из рис. I.1 следует, что 
, 
. Угол j называется аргументов 
комплексного числа 
. Значение аргумента, удовлетворяющего условию 
, называется главным значением аргумента комплексного числа z и обозначается 
, тогда 
, 
.
Рис. I.1
Выражение 
, где 
, называется тригонометрической формой записи комплексного числа .
Учитывая формулу Эйлера [3, 5]: 
, получаем, что 
– показательная форма записи комплексного числа; заметим, что 
и 
, 
.
Таким образом, комплексное число имеет три формы записи: алгебраическую, тригонометрическую и показательную.
Возведение комплексного числа в целую степень n легко осуществить по формуле Муавра [3, 5]:
.
В частности, при 
имеем 
, 
, 
, 
, 
и т.д.
Эта же формула справедлива и для отрицательного показателя степени: учитывая, что 
, получим
.
Например,
.
Для извлечения корня из комплексного числа воспользуемся формулой:
,
, 
.
Пример I.4. Найти 
.
Решение. Модуль комплексного числа z равен 
,
. Поскольку 
, 
, тогда 
. Применим формулу
, 
и получим
1) 
, 
;
2) 
, 
;
3) 
, 
;
4) 
, 
.
При других значениях k корни повторятся (см рис. I.1)
Дальнейшие обобщения числа ни к чему принципиально новому не привели. В конце 19-го века выяснилось, что для выхода за пределы множества комплексных чисел следует отказаться от каких-либо обычных свойств числа, конечно, если это будет возможным.
Девятнадцатый век и начало двадцатого оказались очень плодотворными для математики. Произошло ее аксиоматическое построение на теоретико-множественной основе. К тому времени появилось достаточно много математических теорий, и все они, как было замечено, изучали ту или иную алгебраическую систему как обобщение числовой, то есть некоторое множество элементов с операциями умножения и сложения не в смысле арифметических действий с конкретными элементами, а в смысле свойств (аксиом), которыми они определяются.
Суммы и произведения
Операции суммы и произведения относятся к основным алгебраическим операциям. Как правило, на практике приходится сталкиваться с многократными повторениями. Для удобства выполнений операций вводятся символы многократного повторения сложения – «å» и умножения – «Õ».
Пусть имеем конечное множество 
, тогда сумма его элементов записывается как 
, а произведение – 
, допускаются также обозначения ~ 
~ 
~ 
. Аналогичные вольности допускаются и при обозначении произведения элементов. Индекс i называется скользящей переменной, которая может быть заменена любой другой буквой.
Пусть 
, тогда при необходимости двойной индексации можно ввести двойное суммирование, например,
.
Для двойной суммы выполняется аксиома коммутативности. В самом деле, имеем
.
Аналогично можно записать и произведение элементов с тем же свойством
.
Пример I.5. Раскрыть двойную сумму 
.
Решение. Имеем 
.
Приближенные вычисления
Множество действительных чисел R широко применяется в математике и ее приложениях. В инженерных расчетах обычно конечный результат представляют в виде десятичной дроби. Но не каждое действительное число может быть точно записано в таком виде. К ним относятся все рациональные с периодом и все иррациональные числа. Их приходится округлять, то есть записывать приближенно. Для того, чтобы иметь n точных знаков после запятой, нужно вычислить не менее чем n +2 знака (т.е. дополнительно 2 разряда) и округлить по известным правилам.
Следует иметь в виду, что если приходится суммировать очень много слагаемых, то накапливается ошибка. Пренебрежение правилами округления, а иногда и при округлении с любой точностью, можно получить принципиально неверный результат. Особенно актуальна проблема оценки ошибок вычисления при нахождении корней уравнений и решения систем уравнений. Например, система уравнений 
не имеет решений (система несовместна), а при округлении правой части второго уравнения 
система 
имеет множество решений.
При нахождении корней уравнения 
любое округление в сторону уменьшения 
приводит к отсутствию действительных корней.