§ 1. Матрицы и определители [3, 7]
Определение. Матрицей размера m ´ n называется совокупность m × n элементов, представленная в виде таблицы, состоящей из m строк и n столбцов
,
где 
– элемент матрицы A, стоящий на пересечении i -ой строки и j -го столбца, 
, 
, 
.
Матрица размера 1´ n или m ´1 называется матрицей-строкой или матрицей-столбцом соответственно (или вектором).
Если число строк матрицы равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, а число строк называется ее порядком или размером. Матрица A порядка n имеет вид:
Элементы квадратной матрицы размера n, стоящие на пересечении строк и столбцов с одинаковыми номерами, то есть 
, 
, …, 
, образуют главную диагональ, а сумма элементов главной диагонали 
называется следом матрицы. Соответственно элементы 
, 
, …, 
, лежащие на прямой, соединяющей правый верхний и левый нижний углы матрицы, образуют побочную диагональ.
Мы будем рассматривать числовые и функциональные матрицы.
Определение. Матрица, все элементы которой равны нулю, называют нулевой.
Определение. Квадратная матрица, у которой на главной диагонали стоят единицы, а остальные элементы равны нулю, называется единичной и обозначается
Определение. Квадратная матрица, у которой элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю, называется треугольной.
Определение. Матрица А Т называется транспонированной к матрице A, если у нее каждая строка является столбцом матрицы A с тем же номером.
Действия над матрицами
Сложение матриц
Пусть матрицы A и B имеют одинаковый размер m ´ n, т.е.
, 
.
Матрица C размера m ´ n называется суммой матриц A и B, если
, ,
то есть чтобы сложить матрицы одинакового размера, необходимо сложить их соответствующие элементы.
|
|
Умножение матрицы на число
Чтобы умножить матрицу на число, необходимо каждый элемент матрицы умножить на это число.
, , 
.
Умножение матриц
Произведением матрицы A размера m ´ n и матрицы B размера n ´ k называется матрица C размера m ´ k, имеющая следующий вид:
,
где 
, 
, 
.
Замечание II.1. Отметим, что умножение матриц определено, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
Замечание II.2. Из правила умножения матриц следует, что, вообще говоря, 
, то есть умножение матриц не коммутативно.
Пример II.1. Заданы матрицы
, 
.
Найти, если это имеет смысл, А + В, А×В, В Т.
Решение. Так как матрицы квадратные, то для них все эти операции выполняются. Определим сумму матриц A и B, для этого вычислим суммы соответствующих элементов:
.
Вычислим произведение:
.
Для транспонирования матрицы B необходимо поменять местами соответствующие строки и столбцы:
.
Упражнение. Выяснить, какие из предложенных операций примера 1.1 выполнимы, если размерность матрицы A – m ´ n, а матрицы B – n ´ k.
Определитель матрицы
Если числовая матрица квадратная, то ее можно оценить (определить), то есть поставить в соответствие число.
Определение. Определителем D (или det A) матрицы A порядка n называется многочлен элементов этой матрицы.
Для матрицы порядка n определитель записывается в виде
.
Если матрица числовая, то значение определителя есть число, которое находят по известным правилам.
Свойства определителей
1. Определитель матрицы не меняется при транспонировании матрицы.
|
|
.
2. Определитель матрицы равен нулю, если он содержит строку (столбец), все элементы которой равны нулю.
3. Определитель матрицы равен нулю, если элементы двух строк (столбцов) одинаковые.
4. Определитель матрицы равен нулю, если элементы двух строк (столбцов) пропорциональны.
5. Определитель матрицы меняет свой знак на противо-положный при перестановке местами любых двух строк (столбцов).
6. Если все элементы некоторой строки (столбца) имеют общий множитель, то он выносится за знак определителя как сомножитель.
7. Если к одной строке (столбцу) определителя прибавить другую строку (столбец), умноженную на число, то определи-тель не изменится.
8. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.
.