Аксиоматическое построение теории определителей

Определение. Определителем (детерминантом) квадратной матрицы порядка n над ассоциативно-коммутативным кольцом K с единицей называется элемент кольца, равный сумме членов вида

, (II.3)

где , , …, перестановки чисел 1, 2, 3, …, n, а k – число инверсий перестановки , , …, .

Для приложений наиболее важные случаи: K – числовое поле, K – кольцо многочленов.

Нам потребуются некоторые определения и факты, относящиеся к конечным множествам.

Пусть – множество, состоящее из всех цифр, кроме 0, . Сколько различных девятизначных чисел можно составить из этих цифр, если они не повторяются? Очевидно, что если , то в этом случае имеет место только одно число 1, т.е. 1! вариантов; если , то возможно только 2 варианта: 12 и 21, т.е. 2!; если , то имеют место числа 123, 132, 213, 231, 312, 321, которых ; для всего вариантов. Ясно, что из цифр множества можно составить 9! чисел.

В общем случае, пусть состоит из n различных элементов. Тогда число перестановок из всех элементов множества M, очевидно, равно n!. По определению положим и .

Пусть – подстановка, тогда если любые два числа поменять местами, то получим новую перестановку. Такое преобразование назовем транспозицией.

Все n! перестановок из n различных элементов можно расположить в таком порядке, что каждая следующая будет получаться из предыдущей одной транспозицией, причем начинать можно с любой перестановки.

Отсюда следует, что от любой перестановки из n элементов можно перейти к любой другой перестановке из тех же элементов при помощи нескольких транспозиций.

Будем говорить, что в данной перестановке числа i и j составляют инверсию, если , но в перестановке i стоит раньше j.

Перестановка называется четной, если ее элементы составляют четное число инверсий, и нечетной – в другом случае.

Например, перестановка 1, 2, …, n – четная, так как здесь число инверсий равно 0. Перестановка 1, 3, 5, 4, 2 – четная, так как для нее число инверсий равно 4.

Теорема. Всякая транспозиция меняет четность перестановки.

Следствие. При число четных перестановок из n элементов равно числу нечетных, то есть .

Пример II.4. В подстановке найти число инверсий для получения тождественной подстановки .

Ответ: три инверсии.

Положим, . Из определения следует,

что множество определителей удовлетворяет условиям:

1) – линейная функция любой строки матрицы A:

;

2) если матрица B получена из A заменой строки строкой , , то ;

3) , где – единичная матрица размера n.

Условия 1) – 3) однозначно определяют аксиоматическое построение теории определителей.

Проверим свойства 1) – 3) на примере матрицы 3-го
порядка

, .

;

2) к 1-й строке, умноженной на a, добавим 2-ю, умноженную на b:

;

3) – очевидно.

Пример II.5. Построить определитель третьего порядка.

Решение. Имеем . Из определения следует, что число членов определителя равно 3!=6. Из следствия следует, что число четных инверсий равно числу нечетных. Рассмотрим подстановку , из которой имеем , , , , , . Для первой подстановки из шести имеем член определителя , для второй – , далее , , , .

Таким образом, имеем

С точностью до слагаемых получили формулу (II.1).

Обратная матрица

Определение. Если определитель матрицы равен нулю, то матрица называется вырожденной. В противном случае квадратная матрица называется невырожденной.

Определение. Матрица называется обратной к матрице A порядка n, если она удовлетворяет следующему равенству:

Теорема II.1. Для существования обратной матрицы необходимо и достаточно, чтобы матрица A была невырожденной [3].

Если обратная матрица к матрице A порядка n существует, то она находится по формуле:

. (II.4)

Пример II.6.

Найти матрицу, обратную к матрице .

Решение. Вычислим определитель матрицы A.

Так как D¹0, матрица A является невырожденной и для нее существует обратная, найдем ее. Для этого вычислим алгебраические дополнения для каждого элемента матрицы A: