Линейные операции над векторами

Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения векторов и умножение их на число.

Геометрическая интерпретация. Пусть и два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку O и построим из нее вектор . От точки A отложим вектор . Вектор , соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммой векторов и : (рис. IV.1).

Рис. IV.1

Это правило сложения векторов называется правилом треугольника. Аналогично происходит сложение нескольких векторов (рис IV.2):

Рис. IV.2

Под разностью векторов и понимается вектор . На практике вектора и откладывают из одной точки, концы соединяют и вектор имеет направление «к концу вектора ».

Отметим, что в параллелограмме (рис. IV.3), построенном на векторах и , одна направленная диагональ является суммой векторов и , а другая - разностью.

Рис. IV.3

Произведением вектора на скаляр (число) λ, , называется вектор , который имеет длину вектора , умноженную на λ, а направление совпадает с направлением вектора , если , и противоположно направлению вектора , если .

Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:

1) ;	3) ;
2) ;	4) ;
5) , .

Эти свойства позволяют проводить преобразования над векторами так, как это делается в обычной алгебре: слагаемые менять местами, вводить скобки, группировать, выносить за скобки как скалярные, так и векторные общие множители.

Проекция вектора на ось

Прямая с заданной на ней точкой и единичным базисным вектором называется осью.

Ортогональной проекцией точки A на ось называется точка пересечения оси с перпендикулярной к ней плоскостью, проходящей через точку А.

Пусть в пространстве задана направленная прямая l. Проекцией точки М на ось l называется основание перпендикуляра , опущенного из точки М на ось. Если точка М лежит на оси l, то проекция точки М на ось совпадает с М (рис. IV.4).

Рис. IV.4

Пусть – произвольный вектор. Проекцией вектора на ось l называется координата вектора относительно единичного вектора оси, где А ₁ и В ₁ – проекции точек A и B на ось l, то есть если , то число l называется проекцией вектора на ось l, в направлении . Обозначение для проекции: .

Из правил сложения векторов и умножения вектора на число, заданных своими координатами, следует, что:

, где .

Легко показать, что , где j – угол между векторами и , отсчитываемый по правилам тригонометрии: от вектора против часовой стрелки до вектора .

Следует помнить: проекция вектора на ось положительна (отрицательна), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю, если этот угол прямой.

Действия над векторами, заданными проекциями, выполняются аналогично действиям над матрицей-строкой (матрицей-столбцом).

Рассмотрим 3-х мерное линейное пространство L и (рис. IV.5). Введем декартову систему координат Oxyz. Представим вектор в виде линейной комбинации базисных векторов , , :