1) Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух ненулевых векторов является равенство нулю их векторного произведения.
2) Модуль векторного произведения 
численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах 
и 
.
Определение. Ортом ненулевого вектора 
называется единичный вектор, коллинеарный, одного направления с вектором .
3) Если 
– орт, а S – площадь параллелограмма, построенного на векторах и , то имеет место равенство
.
Алгебраические свойства векторного произведения
1) 
;
2) 
3) 
;
4) 
.
Докажем свойство 1. Если векторы и коллинеарны, тогда 
, то есть 
. Если векторы и не коллинеарные, то при очевидной одинаковой длине 
выполняется , иначе обе тройки векторов , , и , , были бы правыми, что невозможно в силу их противоположной ориентации.
Упражнение. Доказать свойства 2) – 4).
Выразим векторное произведение векторов и через их координаты. Имеем
.
При доказательстве достаточно заметить, что 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
. Далее раскладывая определитель по элементам 1-ой строки, получаем требуемое.
Если векторы и коллинеарны, то их координаты пропорциональны, то есть
.
Замечание. Допускается иметь в знаменателе 0, если всякую пропорцию 
понимать как 
.
Пример IV.7. Найти площадь треугольника АВС с вершинами 
, 
, 
.
Решение. Воспользуемся свойством 4) векторного произведения: площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах 
и 
. Вычислим их векторное произведение, имеем:
.
Площадь треугольника ABC равна половине величины этого векторного произведения:
кв.ед.
§ 7. Смешанное произведение векторов [4]
Пусть даны три вектора , , 
. Если векторно умножить на , а затем скалярно на вектор , то получим число 
, называемое смешанным произведением.
Геометрически смешанное произведение векторов равно объему параллелепипеда, построенному на этих векторах, если они образуют правую тройку, и со знаком «-» в противном случае.
Выразим смешанное произведение векторов 
, 
, 
через их координаты, тогда имеем
. (IV.14)
Для доказательства достаточно учесть
,
а затем разложить определить по 3-й строке и обнаружить совпадение.
Теорема IV.2. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство 0 их смешанного произведения.
Следствие. Смешанное произведение трех векторов, два из которых совпадают, равно 0.
Для доказательства достаточно воспользоваться условием равенства 0 смешанного произведения и воспользоваться формулой (IV.14).
Пример IV.8. Найти объём тетраэдра, вершинами которого являются точки 
, 
, 
, 
.
Решение. Объём тетраэдра составляет шестую часть объёма параллелепипеда, построенного на векторах 
, 
и 
. Найдем смешанное произведение этих векторов:
.
Таким образом, объем тетраэдра равен
куб. ед.
V. Аналитическая геометрия [4]
Аналитическая геометрия – раздел геометрии, изучающий геометрические образы алгебраическими средствами, основывающимися на методе координат.