Под системой координат на плоскости понимают правило, устанавливающее взаимно однозначное соотношение между точками плоскости и упорядоченными парами чисел, которые называют координатами исходной точки.
Проведем через фиксированную на плоскости точку O две несовпадающие прямые с заданными направлениями и единичными отрезками. Если прямые пересекаются под прямым углом, то введенная система координат называется декартовой, или прямоугольной, в противном случае – аффинной, или косоугольной. Первая координата точки в такой системе координат называется абсциссой, вторая – ординатой. Точка пересечения координатных осей называется началом координат.
В декартовой системе координат, обычно, горизонтальную ось Ox называют осью абсцисс, Oy – осью ординат.
Рассмотрим точку M на плоскости Oxy (рис. V.1). Вектор 
называется радиус-вектором точки М. Чтобы найти ее координаты необходимо из этой точки опустить перпендикуляры на каждую из осей. Числа, соответствующие полученным точкам пересечения, и будут координатами точки 
. Если точка лежит на оси Ox, то ее вторая координата равна 0, если на оси Oy, то – первая.
Другой практически важной системой координат является полярная. Возьмем на плоскости геометрическую прямую Ox и зафиксируем на ней декартову систему координат Oxy. Начало назовем полюсом, а координатную ось – полярной осью. Рассмотрим произвольную точку M на плоскости. Ее положение будет однозначно определено, если задать расстояние r от начала координат до точки M и угол j, на который нужно повернуть ось Ox вокруг точки O против часовой стрелки до совмещения его направления с отрезком (рис. V.1).
Рис. V.1
Полярными координатами точки M на плоскости называется пара чисел 
. Число r называется полярным радиусом, а число j – полярным углом. Обычно считают, что
, 
.
Если точка M совпадает с началом, то угол j считается неопределенным.
С каждой полярной системой координат связана декартовая (рис. V.1). Начало совпадает с полюсом, ось абсцисс – с полярной осью, а ось ординат совпадает с полярной осью, повернутой вокруг полюса на угол 
.
Пусть точка M в декартовой системе координат имеет координаты 
, тогда прямая связь с полярными запишется в виде
, 
.
Для обратной зависимости имеем соотношения
, 
,
, 
.
Пример V.1. Кривая в полярной системе координат задана уравнением 
, где 
. Требуется построить график в полярной системе координат и записать уравнение этой кривой в декартовой системе координат.
Зафиксируем декартову систему координат Oxy и на оси абсцисс зададим полярную ось Ox с одинаковым масштабом с декартовой системой (рис. V.2).
Составим табл. 1 с ценой деления 
.
Таблица V.1
| j | 
| 
| 
| 
| 
| p | 
| 
| |
| r | a | 
| – | 
| a |
| |||
| j | 
| 
| 
| ||||||
| r | – | 
|
Каждую пару на полярной плоскости и соединим плавной кривой, которая называется «двухлепестковой розой». Часто для построения графика достаточно рассмотреть известные значения тригонометрических функций 0, 
, 
, 
, 
и кратные им.
В декартовых координатах двухлепестковая роза с помощью формул перехода записывается уравнением
или, после элементарных преобразований, получим
.
Ясно, что в полярной системе координат построение графиков, относящихся к классу подобных кривых, менее трудоемко, чем в декартовой системе координат.
Рис. V.2