До сих пор мы изучали понятие линейности и не касались количественных характеристик: угла и длины, что особенно важно для приложений. Для лучшего понимания дальнейшего рассмотрим двумерное линейное пространство над полем действительных чисел, с введенной в нем декартовой прямоугольной системой координат [11].
Пусть 
, 
. Тогда длина отрезка,
соединяющего концы векторов 
, 
, находится по очевидной формуле 
. Для расстояния до от начала 
введем обозначения 
. Перейдем к углам между векторами. Если j – угол между отрезком, соединяющим O с и положительной осью Ox, а 
– угол между отрезком, соединяющим O с 
и той же осью, то углом между векторами и будет 
, тогда
.
Введем обозначение
.
С помощью полученного выражения можно очень простыми формулами выразить углы между векторами их длины.
Рассмотрим скалярное произведение векторов 
и 
, имеем по определению
, (IV.11)
где j – угол между векторами и .
Пусть 
– проекция вектора в направлении вектора , тогда 
(рис. IV.7).
Рис. IV.7.
Отсюда 
, следовательно, 
, аналогично получаем
, где 
.
Геометрические свойства скалярного произведения [4]
1) Необходимым и достаточным условием ортогональности двух ненулевых векторов является равенство 0 их скалярного произведения.
Замечание 1. Если хотя бы один из векторов равен нулю, то будем считать, что нулевой вектор ортогонален любому вектору.
Замечание 2. Под углом между векторами будем считать тот угол, который не превосходит p.
2) Два ненулевых вектора составляют острый (тупой) угол тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно (отрицательно).
Алгебраические свойства скалярного произведения [4]
1) 
(коммутативность);
|
|
2) 
(ассоциативность);
3) 
(дистрибутивность);
4) 
, если 
нулевой, и 
в противном случае.
Выразим скалярное произведение векторов через их координаты. Пусть 
, 
, тогда получаем
,
учитывая, что 
, 
.
Определение. Если в Евклидовом пространстве задана декартовая система координат, то скалярное произведение векторов и называется число, заданное суммой произведений соответствующих координат, то есть
. (IV.12)
Из свойств скалярного произведения векторов и формулы (IV.12) следует необходимое и достаточное условие ортогональности векторов и :
.
Из первого определения скалярного произведения векторов и формулы (IV.11) следует, что
. (IV.13)
Пример IV.4. Найти такое число l, для которого векторы 
и 
ортогональны.
Решение. Скалярное произведение ортогональных векторов равно нулю, поэтому 
, получили линейное алгебраическое уравнение относительно l, отсюда 
или 
, то есть при векторы и будут ортогональны. В самом деле, имеем 
.
Пример IV.5. Найти углы и длины сторон треугольника с вершинами 
, 
, 
.
Решение. Определим координаты векторов: 
, 
, 
, так как угол A образован векторами 
и 
, то
.
По таблицам находим
.
Аналогично, 
, значит 
– прямой. Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, то 
. Длины сторон – это длины соответствующих векторов, поэтому:
; 
; 
.
Пример IV.6. Найти скалярное произведение векторов 
и 
, если 
, 
, а угол между векторами и равен 60°.
Решение. Имеем, последовательно:
.
§ 6. Векторное произведение векторов [4]
Векторы называются упорядоченными, если указано место каждого из векторов. Упорядоченная тройка векторов 
, 
, 
называется правой, если с конца вектора поворот на меньший угол от вектора к вектору осуществляется против часовой стрелки.
|
|
В дальнейшем будем рассматривать только правые тройки базисных векторов.
Определение. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор 
, удовлетворяющий условиям
1) вектор 
направлен так, что , , – правая тройка;
2) 
, 
;
3) 
, где j – угол между векторами 
и 
.