Прямая в пространстве может быть определена как линия пересечения двух непараллельных плоскостей 
и 
, то есть как множество точек, удовлетворяющих системе двух линейных уравнений
(V.5)
Справедливо и обратное утверждение: система двух независимых линейных уравнений вида (V.5) определяет прямую как линию пересечения плоскостей (если они не параллельны). Уравнения системы (V.5) называются общим уравнением прямой в пространстве 
.
Пример V.12. Составить каноническое уравнение прямой, заданной общими уравнениями плоскостей
Решение. Чтобы написать каноническое уравнение прямой или, что тоже самое, уравнение прямой, проходящей через две данные точки, нужно найти координаты каких-либо двух точек прямой. Ими могут служить точки пересечения прямой с какими-нибудь двумя координатными плоскостями, например Oyz и Oxz.
Точка пересечения прямой с плоскостью Oyz имеет абсциссу 
. Поэтому, полагая в данной системе уравнений , получим систему с двумя переменными:
Ее решение 
, 
вместе с определяет точку 
искомой прямой. Полагая в данной системе уравнений 
, получим систему
решение которой 
, 
вместе с определяет точку 
пересечения прямой с плоскостью Oxz.
Теперь запишем уравнения прямой, проходящей через точки и : 
или 
, где 
будет направляющим векто-ром этой прямой.
Пример V.13. Прямая задана каноническим уравнением 
. Составить общее уравнение этой прямой.
Решение. Каноническое уравнение прямой можно записать в виде системы двух независимых уравнений:
Û 
Получили общее уравнение прямой, которая теперь задана пересечением двух плоскостей, одна из которых 
параллельна оси Oz (
), а другая 
– оси Оу (
).
Данную прямую можно представить в виде линии пересечения двух других плоскостей, записав ее каноническое уравнение в виде другой пары независимых уравнений:
|
|
Û 
Замечание. Одна и та же прямая может быть задана различными системами двух линейных уравнений (то есть пересечением различных плоскостей, так как через одну прямую можно провести бесчисленное множество плоскостей), а также различными каноническими уравнениями (в зависимости от выбора точки на прямой и ее направляющего вектора).
Ненулевой вектор, параллельный прямой линии, будем называть ее направляющим вектором.
Пусть в трехмерном пространстве 
задана прямая l, проходящая через точку 
, и ее направляющий вектор 
.
Любой вектор 
, где 
, лежащий на прямой, коллинеарен с вектором 
, поэтому их координаты пропорциональны, то есть
. (V.6)
Это уравнение называется каноническим уравнением прямой. В частном случае, когда ﻉ есть плоскость, получаем уравнение прямой на плоскости
. (V.7)
Пример V.14. Найти уравнение прямой, проходящей через две точки 
, 
.
Будем считать вектор 
направляющим, тогда уравнение искомой прямой имеет вид
,
где 
, 
, 
.
Удобно уравнение (V.6) записать в параметрической форме. Так как координаты направляющих векторов параллельных прямых пропорциональны, то, полагая
,
получим
где t – параметр, 
.