Любая квадратичная форма с помощью невырожденного линейного преобразования может быть приведена к каноническому виду, определенному формулой
, (VII.5)
где форма f ранга 
от n неизвестных; числа, 
, считаются положительными, но часть слагаемых формулы (VII.5) могут быть отрицательными.
При таком условии заменой 
, 
; и 
, 
невырожденное линейное преобразование приводит квадратичную форму к нормальному виду, то есть
. (VII.6)
Общее число квадратов равно рангу квадратичной формы.
Существует много линейных преобразований, приводящих квадратичную форму к нормальному виду (VII.6), но с точностью до расположения знаков такое приведение единственное [3, 7].
Для квадратичных действительных форм выполняется закон инерции. Число положительных и отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится данная квадратичная форма с действительными коэффициентами действительным линейным преобразованием, не зависит от выбора этого преобразования.
Число положительных (отрицательных) квадратов в нормальной форме формы f называется положительным (отрицательным) индексом инерции (в формуле (VII.6) это k), разница между положительными и отрицательными индексами инерции называется сигнатурой формы f (в формуле (VII.6) она равна r - k).
Пусть дана квадратная матрица 
размерности n квадратичной формы f. Миноры, расположенные по главной диагонали этой матрицы, порядков 1, 2, …, n, последний из них совпадает с определителем матрицы 
, 
, то есть
, 
, …, 
,
называются главными минорами формы f.
Теорема VII.1. Квадратичная форма f от n неизвестных с действительными коэффициентами тогда и только тогда будет состоять из положительных членов, когда все главные миноры положительны.
Пример VII.3. Квадратичная форма
положительно определена, так как все главные миноры матрицы положительны:
, 
, 
.
Приводить квадратичную форму к каноническому виду можно, как уже отмечалось, многими способами, но нормальный вид один. Покажем это на примере.
Пример VII.4. Привести к каноническому виду квадратичную форму 
[7].
Решение. Зададим линейное преобразование:
1) 
тогда получим 
.
Для другого преобразования имеем
2) 
тогда получим 
.
Нормальный вид квадратичной формы, которому соответствуют оба канонических вида, 
.
Упражнение. Проверить справедливость полученных формул непосредственной подстановкой преобразований 1) и 2) в исходную квадратичную форму.
Вполне естественно возникает вопрос: «Как найти матрицу линейного преобразования (оператора)?»
Прежде чем перейти к рассмотрению следующего примера, дадим некоторые пояснения. Не нарушая сущности общего подхода, ограничимся уравнением
,
где правая часть есть квадратичная форма, заданная в декартовой системе координат 
. С другой стороны, это выражение определяет линию второго порядка. Ясно что если правая часть последнего равенства представлена суммой квадратов переменных
,
то имеем канонический вид квадратичной формы.
Оба уравнения будут описывать одну и ту же линию второго порядка, если в форме h сохранен прежний масштаб. Для получения канонического вида H обычно используют характеристическое уравнение. Недостаток такого подхода состоит в том, что неизвестна связь между системами координат и 
. Образно говоря, мы не знаем расположение линии L в системе координат , если она записана в каноническом виде h. Такой переход можно осуществить поворотом осей системы координат на угол j (рис. VII.1), то есть перейти от координат x, y к x 1, y 1 по формулам
Рис. VII.1
Для обратного преобразования необходимо заменить угол j
на - j.
Чтобы узнать расположение линии, мы должны найти преобразование координат, приводящее равенство H к виду h. Заметим, что для сохранения масштаба следует перейти к ортонормированной системе координат.
Пример VII.5. Задана квадратичная форма в декартовой системе координат 
. (VII.7)
Требуется привести ее к каноническому виду, то есть записать ее вид в системе 
и найти линейное преобразование. Получить нормальный вид квадратичной формы.
Решение. Составим симметричную матрицу линейного преобразования (оператора) A
.
Построим характеристический многочлен и найдем собственные числа и собственные векторы. Затем будем последовательно выполнять задания примера. Имеем
Характеристическое уравнение представляется равенством
.
Вычислив определитель матрицы, получим многочлен 
, корни которого 
, 
являются собственными числами. Запишем канонический вид формы (VII.7):
.
Найдем линейное преобразование, то есть установим связь между системами и . Так как корни действительные и различные и нет нулей, то преобразование невырожденное. Найдем собственные векторы 
в базисе (векторы будем представлять столбцами). Для этого решим систему уравнений
, (VII.8)
определенную для каждого из собственных чисел.
При 
, из (VII.8) имеем матричное уравнение
.
Полагая, с необходимостью, 
, получим
при 
, имеем 
. Первый собственный вектор найден 
, его длина 
.
При 
имеем
или 
Прибавляя к первому уравнению второе и, замечая, что если полученное уравнение решать как систему с третьим, то с необходимостью перейдем к первому собственному вектору. Остается составить систему уравнений из суммы двух первых и второго уравнения, тогда получим
Полагая 
, после упрощений получим систему
из которой определяем 
, 
. Второй собственный вектор найден:
, 
.
При 
, выполняя аналогичные действия, при получим третий собственный вектор
, 
.
Для составления ортонормированной матрицы преобразования нормируем векторы 
. Получаем ортонормированную матрицу оператора A, которая состоит из вектор-столбцов с нормирующим множителем 
. Таким образом, матрица невырожденного линейного преобразования имеет вид
.
Для записи линейного преобразования воспользуемся формулой 
, из которой имеем
Подставляя вместо 
, 
, 
их правые части в перноначальную квадратичную форму f, получим ее канонический вид.
Можно также применить скалярное произведение для получения канонического вида квадратичной формы, если воспользоватьься формулой
.
Все остальные слагаемые являются произведениями ортогоналных векторов, и потому их скалярное произведение равно 0.
Нормальный вид квадратичной формы получим из канонического вида заменой 
, 
, 
, тогда 
.