Рассмотри двухмерное евклидовое пространство ﻉ
с декартовой системой координат. Пусть точка ﻉ
и l Ìﻉ. Найдем расстояние от этой точки до прямой. Положим ,и прямая l задается уравнением
(рис. V.8).
Расстояние , вектор
, где
– нормальный вектор прямой l,
и
– коллинеарны, поэтому их координаты пропорциональны, то есть
, следовательно,
,
.
Рис. V.8
Отсюда или умножая эти уравнения
на A и B соответственно и складывая их, находим , отсюда
или
.
Формула
(V.8)
определяет расстояние от точки до прямой
.
Пример V.15. Найти уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой l:
и найти расстояние от
до прямой l.
Из рис. V.8 имеем , а нормальный вектор прямой l
. Из условия перпендикулярности имеем
или
.
Так как , то
. (V.9)
Это и есть уравнение прямой, проходящей через точку , перпендикулярно прямой
.
Пусть имеем уравнение прямой (V.9), проходящей через точку , перпендикулярна прямой l:
. Найдем расстояние от точки
до прямой l, используя формулу (V.8).
Для нахождения искомого расстояния достаточно найти уравнение прямой, проходящей через две точки и точку
, лежащую на прямой в основании перпендикуляра. Пусть
, тогда
. (V.10)
Так как , а вектор
, то
. (V.11)
Поскольку точка лежит на прямой l, то имеем еще одно равенство
или
Приведем систему к виду, удобному для применения метода Крамера
Ее решение имеет вид
,
. (V.12)
Подставляя (V.12) в (V.10), получаем исходное расстояние.
Пример V.16. В двухмерном пространстве задана точка и прямая
. Найти расстояние от точки
до прямой; записать уравнение прямой, проходящей через точку
перпендикулярно заданной прямой и найти расстояние от точки
до основания перпендикуляра к исходной прямой.
По формуле (V.8) имеем
.
Уравнение прямой, содержащей перпендикуляр, найдем как прямую, проходящую через две точки и
, воспользовавшись формулой (V.11). Так как
, то, с учетом того, что
, а
, имеем
.
Для нахождения координат имеем систему с учетом того, что точка
лежит на исходной прямой
Следовательно, ,
, отсюда
.
Рассмотрим трехмерное евклидовое пространство ﻉ. Пусть точка ﻉ и плоскость PÌﻉ. Найдем расстояние от этой точки
до плоскости P, заданной уравнением
(рис. V.9).
Рис. V.9
Аналогично двухмерному пространству имеем и вектор
, а
, отсюда
. (V.13)
Уравнение прямой, содержащей перпендикуляр к плоскости P, запишем как уравнение прямой, проходящей через две точки и
, лежащую в плоскости P:
. (V.14)
Для нахождения координат точки к двум любым равенствам формулы (V.14) добавим уравнение
. (V.15)
Решая систему трех уравнений (V.14), (V.15), найдем ,
,
– координаты точки
. Тогда уравнение перпендикуляра запишется в виде
.
Для нахождения расстояния от точки до плоскости P вместо формулой (V.13) воспользуемся
.
Угол между прямой и плоскостью
Пусть заданы плоскость P и прямая l
. Найдем угол между ними. Угол между прямой и плоскостью совпадает со смежным углом к углу образованным направляющим вектором
прямой и нормальным вектором плоскости
(рис. V.10). Так как
, то
. (V.16)
Рис. V.10
Угол между плоскостями
Пусть даны две плоскости :
и
:
. Найдем угол между этими плоскостями, который совпадает с углом между их нормальными векторами
и
.
Учитывая, что
,
получим
. (V.17)
Пример V.17. Даны координаты вершин пирамиды ,
,
,
. Найти: 1) длины ребер АВ и AC; 2) угол между ребрами АВ и АС; 3) площадь грани АВС; 4) объем пирамиды ABCD; 5) уравнение прямой АВ; 6) уравнение плоскости АВС; 7) уравнение высоты пирамиды, опущенной на грань АВС. Сделать чертеж.
Решение.
1). Длина ребра AB совпадает с длиной вектора , поэтому определим координаты векторов
и
.
,
.
Длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат, то есть
,
.
2). Угол между ребрами AB и AC совпадает с углом между векторами и
, который можно определить по формуле
,
.
3). Грань ABC представляет собой треугольник, его площадь найдем через векторное произведение:
,
так как
.
4). Объем пирамиды вычислим по формуле:
.
Здесь .
5). Уравнение прямой, проходящей через точки А, В, имеет вид:
, то есть,
.
6). Уравнение плоскости ABC определим из равенства
,
или
.
7). Так как высота – это прямая перпендикулярная плоскости ABC, ее направляющим вектором будет вектор-нормаль плоскости ABC, тогда уравнение высоты имеет вид:
.
Выполним чертеж (рис. V.11).
Рис. V.11
VI. Линейные операторы
Линейный оператор
В линейной алгебре, помимо векторных пространств, фундаментальное значение имеют линейные операторы (или линейные преобразования) [1, 7, 11].
Как общее понятие, оператор – отображение одного множества на другое, каждое из которых наделено некоторой структурой (системой аксиом, отношением порядка, алгебраической операцией и т.д.). Аналогом оператора в математическом анализе является функция.
Современное определение линейного оператора A принадлежит Дж. Пеано для векторных пространств с основным полем R действительных чисел, с областью определения и областью значений в L.
Отметим, что при использовании современной вычислительной техники (кластеров, вычислительных систем, нейронных систем) эффективность параллельных программ существенно повышается, если представленные для решения задачи записаны в векторной (операторной) форме.
Поскольку линейный оператор рассматривается как отображение ,
или как функция
, то в дальнейшем, векторы будем обозначать малыми буквами x, y, …, возможно с индексами,
.
Определение. Линейным оператором A на векторном пространстве L называется линейное преобразование одного вектора в другой из того же пространства, так что выполняются свойства линейности
,
, (VI.1)
что эквивалентно линейной комбинации,
,
. (VI.2)
Из (VI.1) следует, что среди линейных операторов существуют:
а) нулевой, , то есть такой, что
,
, где
0 – нулевой вектор;
б) единичный (тождественный) , то есть такой, что
;
в) подобия P, то есть такой, что
,
отсюда следует, что при получаем нулевой оператор, а при
тождественный.
Из (VI.2) следует, что , где
,
. Область значений
оператора A является подпространством, в частности множество векторов
, таких что
– подпространство.
Множество называется ядром оператора A, а размерность ядра называется дефектом оператора A.
Пример VI.1. Пусть в векторном пространстве L задан базис. Оператор A ставит в соответствие каждому вектору x его координату с фиксированным номером. Доказать, что A – линейный оператор.
Доказательство. Пусть ,
, тогда, например,
,
, покажем, что
,
.
В самом деле, имеем из (VI.2),
. ▼