О.Н.Пирютко
Справочник- тренажер для подготовки к ЦТ
Алгебра. 10-11 классы
Предисловие
Книга написана для тех, кто самостоятельно хочет повторить школьную математику за 10-й - 11-й классы и подготовиться к ЦТ.
В книге изложено 10 тем, которые содержат весь программный курс математики 10-11 классов школы. Для повторения курса по каждой из тем попробуйте сначала написать тест, он называется “проверочным”, затем проверьте ответы. Если вы не можете выполнить задание или сделали в нём ошибку, в следующем разделе (“Улучшите свои знания”) под тем же номером, что и задание, вы найдёте правило и (самое главное!) алгоритм или схему его применения с подробными примерами. Вам станет ясно, в чём же была проблема. Далее проверьте себя по разделу “Наиболее часто встречающиеся ошибки”. Для использования полученной информации при решении итестовых заданий помогут предложенные таблицы и схемы, в которых коротко изложены необходимые для выполнения заданий тестирования материалы.
Эта книга также будет полезна учителям и учащимся 10-11 классов как справочник - помощник, т.к. содержит таблицы основных формул и методов решения заданий каждого раздела с указания к их применению. В конце каждого раздела приводятся тестовые задания для контроля степени подготовленности к Ц.Т.
Автор.
Алгебра и начала анализа
Тема 1 Тригонометрические функции
Проверочный тест
1. Найдите:
а) область определения функций,
б) множество значений функций:
y = -3sinx; y = tgx+5; y = cos2x.
2. Определите период функций:
а) y = sin2x; б)y = cos 0,5x; в)y = tg7x.
3. Выясните, какие из функций являются четными, какие – нечетными, а какие – ни четными, ни нечетными:
|
|
а) y= tg2x; б)y = sinx∙cos 3x; в)y= ⅓cosx; г)y = sinx + cosx.
4. Определите знак произведения:
а) sin50° · cos60° · sin 188° · cos 189°;
б) tg2 · cos5.
5. Что больше: а)sin 37° или sin 67°; б)cos 54° или cos45°; в)tg59° или tg13°?
6. Постройте графики функций:
а)y = sin2x; б) y = cos х/2; б)y = tg ¼x.
Ответы:
1. а) х – любое число; х ≠ π/2 +πk, k – целое число; х – любое число.
б) [-3; 3]; (-∞; +∞); [-1; 1].
2. а)π; б)4π; в)π/7.
3. в) четная функция; а) б) – нечетные функции, г) не является ни четной функцией, ни нечетной.
4. а) “плюс”; б) “минус”.
5. а) sin 67° > sin 37°; б)cos45° >cos 54°;в) tg59° >tg13°.
6.
Улучшите свои знания
1. a) Область определения(D) тригонометрических функций:
D (sin x) = (-∞; +∞);
D (cosx) = (- ∞; +∞);
D (tgx): х ≠ π/2 +πk, k – целое число.
Примеры
Найдите область определения функций:
1.y = 2sin5x; 2.y = -cos4x; 3. y= tg3x.
Решение
1.Так как область определения функции y = sint – все действительные числа,
т. е. t 
(-∞; +∞),то 5x тоже принадлежит этому промежутку, 5x (-∞; +∞), значит, х 
(-∞; +∞). D(2sin5x) = (-∞; +∞).
2.Так как область определения функции y = cost – все действительные числа, т. е. t (-∞; +∞),то 4x тоже принадлежит этому промежутку,
4x (-∞;+∞), значит, х (-∞; +∞). D(-cos4x) = (- ∞; +∞).
3.Так как область определения функции y = tgt все действительные числа, кроме t = π/2 +πk, где k – целое число, то 3х ≠ π/2 + πk, k – целое число, т.е.
х ≠ π/6+πk/3, k – целое число. D (tg3x): х ≠ π/6 +πk/3, k – целое число.
b) Множество значений (E) тригонометрических функций:
E (sinx) = [-1; 1];
E (cosx) = [-1; 1];
E (tgx) = (-∞; +∞).
Примеры
|
|
Найдите множество значений функций:
1. y = 2sin5x; 2. y = -cos4x; 3. y = tg3x.
Решение
1. Так как множество значений функции sint – отрезок [-1; 1], то
-1 ≤ sin5x ≤1, т.е. -2≤2 sin5x ≤2, значит, Е(2sin5x) = [-2;2].
2. Так как множество значений функции cost – отрезок [-1; 1], то
-1 ≤сos4x ≤1, т.е. -1 ≤ -сos4x ≤1, значит, Е (-cos4x) =[-1;1].
3. Так как множество значений функции tg t - вся числовая прямая:
(-∞;+∞), то Е (tg 3x) = (-∞; +∞).
2. Функция f(x) называется периодической с периодом Т >0, если для любого х из области определения функции (х ± Т) тоже принадлежит области определения функции, и f(х ± Т) = f(x).
Свойства:
1. Если Т – период функции f(x), то число kT – тоже период f(x), где k – произвольное целое число.
2. Если Т – период функции f(x), то период функции f(mx) (m – некоторое действительное число, не равное нулю) равен Т/m.
Наименьший период функций y =sinx и y =cosx равен 2π, функции y=tgx равен π.
Примеры
Определите период функции: 1.y=sin2x; 2.y= tg7x.
Решение
1. Так как период функции y = sinx равен 2π, то период функции y= sin2x равен 2π/2=π.
2. Так как период функции tgx равен π, то период функции y=tg7x равен π/7.
3. Функция f(x) называется четной, если для любого x из области определения функции f(x) -x также принадлежит области определения и
f(-x) = f(x).
Функция f(x) называется нечетной, если для любого x из области
определения функции f(x), - x также принадлежит области определения и
f(-x) = - f(x).
Примеры
Установите четность или нечетность функции:
1. y= x²-|x|; 2.y =x³ - x; 3. y = 3√x+5; 4.y = x - x².
Решение
1. Область определения данной функции – все действительные числа,
|
|
f(-x)= (-x)²-|-x| = x²- |x| = f(x), значит, функция y= x²-|x| четная.
2. Область определения данной функции – все действительные числа,
f(-x) = (-x)³ -(- x) = - x³ + x =-(x³ - x) = - f(x), значит, функция y = x - x²
нечетная.
3. Область определения данной функции – все неотрицательные
действительные числа. Значит, если x D(3√x+5), тo
– x 
D(3√x+5),т.е.данная функция не является ни четной, ни нечетной.
4. Область определения данной функции – все действительные числа,
f(-x)= -x- (-x)² =-x -x² =-(x+x²) ≠ - f(x) ≠ f(x), значит, данная функция не
является ни четной, ни нечетной.
Функции y= sinx и y=tgx являются нечетными, функция cosx – четная:
sin(-x)=-sinx; tg(-x) = -tgx; cos(-x) =cosx.
Примеры
Выясните, какие из функций являются четными, какие – нечетными, а какие – ни четными, ни нечетными:
1. y = -2 sin 6x + tg4x;
2. y = 4cos 3x + 3;
3. y = sinx + cosx.
Решение
Области определения этих функций симметричны относительно x=0, поэтому поверим только второе условие четности и нечетности.
- f(-x) =-2sin 6(-x)+tg4(-x) = 2 sin 6x - tg4x= -(-2 sin 6x +tg4x) =- f(x),
функция является нечетной.
- f(-x) = 4cos 3(-x) + 3 =4cos 3x + 3= f(x), функция является четной.
- f(-x) = sin(-x) + cos(-x) = -sinx +cosx ≠ - f(x) ≠ f(x), значит, функция не
является ни четной, ни нечетной.
4. Промежутки знакопостоянства и нули функции.
Промежутки знакопостоянства функции – числовые промежутки, на которых функция сохраняет свой знак (т.е. остается положительной или
отрицательной). y
Промежутки знакопостоянства функции s inx
y= sinx: sinx
sinx > 0 х (2πk; π +2πк), k – любое целое
число;
sinx < 0 х (π +2πк; 2πk), k – любое целое х
число.
Промежутки знакопостоянства функции
y = cosx: y
cosx > 0 х (-π/2 +2πk; π/2 +2πк), k – любое cosx
целое число;
cosx < 0 х (π/2 +2πк; 3π/2+2πk), k – любое
целое число. х
y
Промежутки знакопостоянства функции tgx
y=tgx: tgx
tgx > 0
х (πk; π/2 +πк), k – любое целое число;
tgx <0 x
х (-π/2 +πк; πk), k – любое целое число.
Нулями функции называются значения аргумента, при которых значение функции равно нулю.
Нули функции sinx: sinx=0, x= πк, k – любое целое число.
Нули функции cosx: cosx= 0, x = π/2 +πк, k – любое целое число.
Нули функции tgx: tgx =0, x= πк, k – любое целое число.
Примеры
Определить знак произведения:
1. sin57° · cos80° · sin 108° · cos 139°;
2.tg67°∙sin73° ∙cos 246°;
3. tg4 · sin2· cos1.
Решение
1. Так как угол 57° принадлежит первой четверти (т.е. 0° <57°< 90°), то sin57° > 0. Угол 80° также принадледит первой четверти, значит, cos80°>0. Углы 108° и 139° принадлежат второй четверти четверти (т.е. 90° <108°< 180°, 90° <139°<180°,),, то
sin 108° >0, cos 139° <0. Значит, sin57° · cos80° · sin 108° · cos 139° <0,
как произведение трех положительных и одного отрицательного чисел.
2. Углы 67° и 73° принадлежат первой четверти, угол 246° - третьей, значит, tg67°>0, sin73° >0, cos 246°<0, т.е. tg67°∙sin73° ∙cos 246° <0.
3. Так как π ≈ 3.14, то π < 4 < 3π/2, то угол 4 радиана принадлежит третьей четверти, т.е. tg4 > 0. Аналогично, угол 2 радиана принадлежит второй четверти, т.е. sin 2 > 0, и угол 1радиан принадлежит первой четверти, cos1>0. Значит, tg4 · sin2· cos1 >0.
5. Функция f(x) называется возрастающей на множестве М, если для любых двух значений аргумента из множества М (х1 и x2), большему значению аргумента соответствует большее значение функции (если х1>x2, то
f(x1)>f(x2), а если х1<x2, то f(x1)<f(x2)).
Функция f(x) называется убывающей на множестве М, если для любых
двух значений аргумента из множества М (х1 и x2), большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции (если х1>x2, то
f(x1) <f(x2), а если х1<x2, то f(x1) >f(x2)).
Функция, только возрастающая или только убывающая на множестве М, называется монотонной на этом множестве.
Функция y=sinx возрастает на промежутках (- π/2 +2πк; π/2+2πk), k – любое целое число.
Функция y=cosx возрастает на промежутках (- π+2πк; 2πk), k – любое целое число.
Функция y=sinx убывает на промежутках (π/2 +2πк; 3π/2+2πk), k – любое целое число.
Функция y=cosx убывает на промежутках (2πк; π+2πk), k – любое целое число.
Функция y =tgx возрастает на промежутках (- π/2 +πк; π/2+πk), k – любое целое число.
Примеры
Что больше:
1. sin 37° или sin 67°; 2. cos 54° или cos45°; 3. tg59° или tg13°?
Решение
1. Так как функция y= sinx возрастает на промежутке [-90°; 90°],
и 37° [-90°; 90°], 67° [-90°; 90°], и 37° < 67°, то sin 37° < sin 67°.
2. Так как функция y=cosx убывает на промежутке [0°; 180°],
и 54° (0°; 180°), 45° (0°; 180°), и 54° > 45°, то cos 54° < cos 45°.
3. Так как функция y=tgx возрастает на промежутке (-90°; 90°), то
tg 59° > tg13°.
6. График функции y=sinx (рис.4):
График функции y=cosx (рис.5):
График функции y=tgx (рис.6):
Примеры
1. Построим график функции y=sin2x. Период этой функции равен 2π/2=π. Построим синусоиду на этом периоде (рис.7).
2. Построим график функции y=cos ⅔x. Период cos ⅔x равен 3π. Построим график на этом периоде (рис.8).
3. Построим график функции y=tg7x. Период tg7x равен π/7. Построим график на этом периоде (рис.9).
Наиболее часто встречающиеся ошибки
!Проверь, не делаешь ли ты так!
1. sin47° < sin157° - неверно, так как 47° и 157° принадлежат разным промежуткам монотонности. Чтобы выяснить, какое из чисел sin47° или sin157° больше, надо заменить углы 47° и 157° на углы, принадлежащие одному промежутку монотонности:
воспользуемся формулой sinα = sin(180° - α) для α =157°, sin157°= sin23°.
Далее, так как 47° (-90°; 90°), 73° (-90°; 90°) и функция sinx возрастает на промежутке [-90°; 90°], то sin 47° > sin23°, т.е. sin47° > sin157°.
2. tg 2 > 0 – неверно. Правильно будет: угол 2 радиана принадлежит промежутку (π/2; π), значит, tg 2 < 0.
Контрольный тест
1. Найдите:
а) область определения функции:
y = 
; y = 
; y = tg (3x+ π/4);
б) множество значений функции:
y = -2сos2x; y = ⅓ sinx +1; y = 
. 
2. Найдите период функции:
y=3,4sin 11x +2; y = tg(πх); y = сos(0,4x+ π/6).
3. Выясните, какие из этих функций являюся четными, какие – нечетными, а какие – ни четными, ни нечетными:
y=xcosx; y=sin(x+ 1); y= tg(x 
).
4. Определить знак значения выражения:
sin129°cos95°tg260°; 
;
5. Расположите в порядке возрастания числа:
а) sin π/12; sin 10π /9; sin 2,1 π; б) cos π/5; cos2,3 π; cos1,4 π;
в) tg π/7; tg2,9 π; tg4 π.
6. Укажите, на каком из рисунков изображен график функции у= cos3x.
а) б)
в) 
г) 
Ответы
- а) х ≠ π/2 +πk, k – целое число; х≠-1/2; х ≠ π/12 +π/3 k, k – целое число;
б) [-2; 2]; [2/3; 4/3]; [-0; +∞).
- а) 2π/11; б)1/2; в)5π.
- четная функция – tg x2; нечетная функция - xcosx; не является ни четной функцией, ни нечетной – sin(x+1).
- а)“плюс”; б) “плюс”.
- а) sin 10π /9; sin π/12; sin 2,1 π; б) cos1,4 π; cos2,3 π; cos π/5; в) tgπ/7; tg2,9 π; tg4π.
- б)
Свойства тригонометрических фунций в таблицах(1)
| Функции Свойства функции | y= sinx | y= cosx | y= tgx |
| Область определения (D) | (-∞; +∞) | (-∞; +∞) | х ≠ π/2 + πk, k – целое число. |
| Множество значений(E) | [-1; 1]; | [-1; 1]; | (-∞; +∞) |
| Наименьший период | 2π | 2π | π |
| Четность или нечетность функции | Нечетная | Четная | Нечетная |
| Знаки функции | sinx > 0 для
х (2πk; π +2πк), k Z;
(первая и вторая четверти)
sinx < 0 для х
(π +2πк; 2πk), kZ.
(третья и четвертая четверти)
| cosx > 0 для
х (-π/2 +2πk; π/2 +2πк), k Z (первая и четвертая четверти)
cosx < 0 для х (π/2 +2πк; 3π/2+2πk), k (Z
(вторая и третья четверти)
| tgx > 0 для
х (πk; π/2 +πк), k Z,(первая и третья четверти)
tgx < 0 для
х (-π/2 +πк; πk), k Z
(вторая и четвертая четверти)
|
| Нули функции | x= πк, kZ.
| x= π/2 +πк,kZ.
| x= πк, k Z.
|
| Промежутки возрастания | (- π/2 +2πк; π/2+2πk), k Z.
| (- π+2πк; 2πk), kZ.
| (- π/2 +πк; π/2 +πk), k Z.
|
| Промежутки убывания | (π/2 +2πк; 3π/2+2πk), k Z.
| (2πк; π+2πk),
kZ.
| - |
| Наибольшее значение | - | ||
| Наименьшее значение | -1 | -1 | - |
| Графики | 
| 
| 
|
Тестовые задания: свойства тригонометрических функций (2)
| № | Задание | Ответ |
| Если sin α = -1, то α может принимать значения: | 1) α = 180°; 2) α = 90°; 3) α = - 90°; 4) α = -180°; 5) α = -270°. | |
| Положительным числом является: | 1)sin 193°; 2)cos 293°; 3) tg 293°; 4) сtg 293°; 5)cos 193 °. | |
| Наибольшее значение выражения -2 sin α + 5 равно: | 1) 5; 2) 3; 3) 7; 4) 2; 5) не существует. | |
| Отрицательным числом является: | 1) cos136° ∙ sin 193°; 2) cos 230° ∙ sin 290°; 3) cos336° ∙ sin 91°; 4) cos360° ∙ sin 290°; 5) cos360° ∙ sin 120°; | |
| Верно ли, что | 1) cos1 > соs2; 2) cos 3 > cos 4; 3) sin3 > sin2; 4) sin 3,5 >sin1,5; 5)cos 5 >cos 4? | |
| Наименьший период функции y= sin 2x +cos3x равен | 1) 6π; 2) 3 π; 3) π/6; 4) π/3; 5) не существует. | |
| Наибольшее значение функции y = 3sin x - sin3x | 1) 0; 2) 1; 3) 3; 4) 2; 5)4. | |
| Пары чисел,(x;y) удовлетворяющих равенству sin πx+ sin5πx=y2 +2y+3 | 1)(1/2+ n;-1); 2) (½;-1); 3)) (½; 1); 4)) (½;n); 5) (1+ n;-1); | |
| Укажите в градусах все углы β, удовлетворяющие условию 0°< β <720°, если cos31° = cos β | 1)31°, 329°, 391°,689°; 2) 3) 4) | |
| Наименьшее целое значение функции y= -3,28sin9x | 1) 0; 2) -1; 3) -3; 4) -2; 5)-4. | |
Пары чисел,(x;y) удовлетворяющих равенству 
| 1.  2.(1;2)
3.  4. 
5.(-1;4)
| |
| Сумма квадратов наибольшего и наименьшего значений функции y = 2sin x +cos x | 1.10;2.9;3.6;4;5.6 | |
| Сумма наибольшего и наименьшего значений функции y = sin 4x +cos 4 x | 1.5/8;2.1/4;3.3/8;4.2/5;5.3/4. | |
Сумма наибольшего и наименьшего значений функции
| 1.3/2;2.1/2;3.1;4.2;5.3. | |
Найдите множество значений x, удовлетворяющих равенству 
| 1.0; 2.2;3.1;4.2;5.3. | |
| Найдите множество значений x, удовлетворяющих равенству cosx = x2 +1 | 1.0 | |
| Найдите множество значений x, удовлетворяющих равенству cos πx = -x2 +6x -10 | 1.3 2.2; 3.-1; 4.-2; 5.-3. | |
Найдите множество значений x, удовлетворяющих равенству
| 1.-1 2.2; 3.1; 4.-2; 5.-3. | |
Найдите множество значений x, удовлетворяющих равенству
| 1.0,5 2.-0,2; 3.-0,1; 4.0,5; 5.1. | |
| 20 | Найдите множество значений x, удовлетворяющих равенству
| 1.2 2.2; 3.-1; 4.0,2; 5.0,5. |