Наиболее часто встречающиеся ошибки




 

!Проверь, не делаешь ли ты так!

1.arccos(-0,5) = - , это неверно. Правильно будет так: arccos(-0,5) = π - = = ,

т.к. арккосинусом числа -0,5 называется угол, заключенный в промежутке , косинус которого равен -0,5.

2. Решение уравнения cos4x = 0,5, x = , это неверно, правильно будет: x =

3.При решении уравнения 2sinx +cosx = 1 получают , это не-

верно, уравнение 2sinx +cosx = 1 не однородное относительно sinx и cosx, его решение приведено в п.3.

 

Контрольный тест

 

1.Вычислите: аrccos(-1) + arcsin(-1) + arctg(-1).

2.Решите уравнение: а) sin = 0,5; б) tgx = 2; в) cos .

3.Решите уравнение:

а) 8sin x + cos2x +7= 0; б) sin2 x +2sinxcosx - 3cos2x +2 = 0;

в) 3sinx - 4cosx = 0.

 

Свойства обратных тригонометрических функций в таблицах(5)

 

Функция   Свойства y= arcsinx y =arccosx y=arctgx
Область определения (D) [-1;1] [-1;1] (-∞;+∞)
Множество значений (E) [-π/2;π/2] [0;π] (-π/2;π/2)
Четность или нечетность функции Нечетная Не является четной и не является нечетной Нечетная
Знаки функции аrcsinx <0 для , аrcsinx >0 для arccosx >0для ,   arctgx > 0 для
Нули функции x=0 x=1 x=0
Промежутки возрастания [-1;1] - (-∞;+∞)
Промежутки убывания - [-1;1] -
Наибольшее значение π/2 π -
Наименьшее значение - π/2   -
Графики

 

 

Тестовые задания: свойства обратных тригонометрических функций в таблицах (6)

 

  Задание Ответы
  Значение выражения arcsin (sin360º) равно 1) 180°; 2) 0°; 3) 90°; 4) 180°; 5) 360°.  
  Значение выражения arcsin (sin3) равно 1) π-3; 2)3; 3)π/2-3; 4)3- π /2; 5) 2 π-3  
  Значение выражения arccos (cos3) равно 1) π-3; 2)3; 3)π/2-3; 4)3- π /2; 5) 2 π-3
  Значение выражения arcsin (cos3) равно 1) π-3; 2)3; 3)π/2-3; 4)3- π /2; 5) 2 π-3
  Значение выражения arcsin(sin4) равно 1) π-4; 2)4; 3)π/2-4; 4)4- π /2; 5) π-4
  Значение выражения arcsin(sin13) равно 1) π-13; 2)13; 3)π/2-13; 4)13- 4π; 5) 4 π-13
  Значение выражения arccos (cos10) равно 1) π-10; 2)10; 3)π/2-10; 4)10- 4π; 5) 4 π-10
    Значение выражения arctg(tg34) равно 1) 11π-34; 2)34; 3)7π/2-34; 4)34- 11π; 5) 4 π-34
  Решите уравнение arccos(x-2) = π/3 1) π/3-+2; 2)2,5; 3)2,5; 4) 1,5; 5) 2π/3
  Решите уравнение arcsin (x2 +2x -2,5) = π/6 1) π/6-2,5; 2)2;-1; 3)-3;1; 4) 1;2; 5) π/3; -π/3
  Решите уравнение arctg(tg3x) = - π/4 1) -3; 2)-1/4; 3)-π/12; 4)3- π /4; 5) -4 π  
  Упростите выражение аrctg2,4- arccos0,6 1) аrctg 16/63; 2)1,8; 3)-16/63; 4)3; 5) -0,2
  Найдите область определения функции 1) [-1;1]; 2) [1;3) 3) (1;3); 4) (-1,1); 5) [1;3]
  Решите неравенство arcsinx < 2arccosx 1) [-1;1/2]; 2) [1/2;3) 3) (-1;1); 4) 5)
  Решите неравенство   1)1; 2)(1/3;2,5) 3)-1/3; 4) (-1;1); 5) 1/3
  Решите уравнение 1)1; 2)-1/2;1. 3)-1/3;1 4)-1;1; 5)
  Решите уравнение 1)1/2; 2)-1/2;1. 3)-1/3;1 4)-1;1; 5)
  Решите уравнение 1)1; 2)2. 3)-1; 4)-1;1; 5)-2
  Решите уравнение 1)1; 2)2. 3)-1; 4)-1;1; 5) -0,5
  Решите неравенство arccosx >arccos(3x-1) 1) [-1;1/2]; 2) [1/2;3) 3) (-1;1); 4) 5) (1/2;2/3]
  Решите уравнение 1) -1; 2)-1/2;1. 3)-1/3;1 4)-1;1; 5)
  Решите уравнение   1. 2)(-1;1); (-π;π). 3)(-1;1) 4) (-π;π);(-1;1); 5)  
  Решите уравнение 1.0,5.2)0. 3)-1; 4)-1;5)π/2
  Наибольшее значение функции равно 1)1; 2)0. 3)-1; 4)-1;5)π/2
  Наибольшее значение функции равно 1)1; 2)0. 3)-1; 4)-1;5)π

 

 

Виды тригонометрических уравнений в таблицах(7)

 

Тип уравнения Метод решения Применение Примечания
  Простейшие тригонометрические sinx = a a>1 или a< -1,не имеет решений. a= 1, x= a= -1, x= - a= 0, x= a| x= (-1)narcsina + πn, n .       При решении тригонометрических уравнений, сводящихся к простейшим, используется общий вид решения   При отыскании решений, принадлежащих некоторому отрезку, можно не использовать общий вид решения уравнения.
cosx =a a>1 или a< -1 не имеет решений. a = 1 решение уравнения: x= a= -1, то x= a= 0, x= -1≤a то x= arccosa+2πn, n .       При решении тригонометрических уравнений, сводящихся к простейшим, используется общий вид решения    
tgx = a x=arctga + πn, n . При решении тригонометрических уравнений, сводящихся к простейшим, используется общий вид решения
Уравнения, в которых можно выполнить замену переменной   af2(x) + b f(x)+c= 0, где f(x) – некоторая тригонометрическая функция   Уравнение относительно f(x) может быть более высокой степени, чем вторая. Функция f(x) – может быть представлена выражением, содержащим тригонометрические функции.
Однородные тригонометрические уравнения. a∙sin2x+bsinxcosx+ k∙cos2x= 0, a,b,k – некоторые числа. Если a≠0, k≠0, то уравнение a∙sin2x+bsinxcosx+ k∙cos2x= 0 равносильно уравнению atg 2x +btgx +k =0, т.е. обе части уравнения делятся на cos2x   Однородное уравнение относительно sinx и cosx может быть первой степени или более высокой степени, чем вторая.   Если уравнение – неполное однородное, то деление на функцию в степени однородности может привести к потере корней.
Уравнение вида asinx+bcosx=c Привести к виду sin(x +t) = t = arctg b/a Применяется в случае, если с≠ 0. Следует привести к виду, когда a >0 Частные случаи
Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители левой части уравнения   Использовать условие равенства произведения нескольких множителей нулю Если в правой части уравнения – ноль, а в левой – произведение тригонометрических функций, то на общей области определения функций уравнение равносильно совокупности уравнений: каждый множитель равен нулю Полученные решения совокупности уравнений могут содержать общие корни.
Уравнения, решаемые с помощью применения свойства ограниченности тригонометрических функций     , f(x) , g(x)     Применяется к сумме af(x)+ bg(x)= a+b, где f(x) и g(x) одна из тригонометрических функций sinkx или costx В уравнении , g(x) может быть любой функцией. Например,
Уравнение содержит только выражение () и функцию или Решается с помощью замены: , ( )     Замена применяется в случае, когда коэффициенты перед sinx и cosx – имеют равные модули.   Сделаем замену . Тогда: Нет кор .    

 

 

Тестовые задания: основные типы тригонометрических уранений(8)

 

  Задание Ответы
  Решите уравнение   1. 2.Ø 3. 4. 5.  
  Решите уравнениe     1. 2.Ø 3. 4. 5.    
  Решите уравнение 1. 2.Ø 3. 4. 5.  
  Решите уравнение 1. 2.Ø 3. 4. 5.  
  Решите уравнение 1. 2.Ø 3. 4. 5.
  Решите уравнение   1.Ø 2. 3. 4. 5.
  Решите уравнение 1. 2. 3. 4. 5.
  Решите уравнение 1. 2. 3. 4. 5.
  Решите уравнение 1. 2. 3. 4. 5.
  Решите уравнение 1. 2. 3. 4. 5.
  Решите уравнение   1. 2. 3. 4. 5.
  Решите уравнение   1. 3. 4. 5.
  Найдите все корни уравнения , принадлежащие промежутку (-1;1) 1. 2. 3. . 4. . 5..  
  Решите уравнение:     1. 2. 3. 4. 5  
  Решите уравнение:     1. 2. 3. 4. 5..-
  Решите уравнение: 1. 2. 3. 4. 5.-  
  Решите уравнение: 1.- 2. 3. 4. p/2 + pn, nÎZ; 5.
    1. 2. 3. 4. p/2 + pn, nÎZ; 5.  
  1. 2. 3. 4. p/2 + pn, nÎZ; 5.
  1. 2. 3. 4. p/2 + pn, nÎZ; 5.
  1. 2. 3. 4. p/3 + pn, nÎZ; 5.
    .   1. 2. 3. 4. p/3 + pn, nÎZ; 5.
  1. 2. 3. 4. p/3 + pn, nÎZ; 5.
  1. Ø 2. 3. 4. 5. p/3 + pn, nÎZ;  
  Решите уравнение: 1. 2. 3. 4. 5. p/3 + pn, nÎZ;  
  Решите уравнение: sinx - 2cosx = 0     1. 2. 3.arctg 2 + pn, nÎZ. 4. 5. p/3 + pn, nÎZ;  
  Решите уравнение: 1. 2. 3. 4. ,p/3 + pn, nÎZ; 5.2pn, nÎZ; p/2+2pn, nÎZ
  Решите уравнение: 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x 1.arctg4 + 2 k, arctg2 + 2 k, k 2. 2. 3. ; 4. 5. p/3 + pn, nÎZ;  

 

Тестовые задания: различные тригонометрические уравнения (9)

 

  № Задание Ответы
1. Решите уравнение: 1. 2. 3. 4. 5. p/3 + pn, nÎZ;  
2. Решите уравнение: tgx – 2ctgx + 1 = 0 1. 2. pn, nÎZ; 3. p+ pn, nÎZ; 4. p 5. p/2 + pn, nÎZ;
3. Решите уравнение: cos 2x = 1 + 4 cosx 1. 2.. 3. 4. 5. p/4 + pn, nÎZ;
4. Решите уравнение: = 1.2pn, nÎZ; 2. pn, nÎZ; 3. p+ pn, nÎZ; 4. 5. p/2 + pn, nÎZ;
5. Решите уравнение 1. (π+2pn;3/2p +2pn), nÎZ; 2. pn, nÎZ; 3. p+ pn, nÎZ; 4. (-π+2pn;0+2pn), nÎZ; 5. p/2 + pn, nÎZ;
6. Решите уравнение   1. . 2. 3. 4. 5.  
  Решите уравнение: 1.-p/24+pn/2,nÎZ p/12+pk,kÎZ. 2. 3. 4. 5.
  Решите уравнение 1.p/2+2pn, nÎZ 2. pn, nÎZ; 3. p+ pn, nÎZ; 4. (p/2)n, nÎZ; 5. p/2 + pn, nÎZ;
  Решите уравнение:   1.p/2+2pn, nÎZ 2. pn, nÎZ; 3. p+ pn, nÎZ; 4. (p/2)n, nÎZ; 5. p/2 + pn, nÎZ;
  Решите уравнение: 1.pn, nÎZ; ±3p/4+2pn, nÎZ. 2.-p/24+pn/2,nÎZ p/12+pk,kÎZ 3. p+ pn, nÎZ; 4. (p/2)n, nÎZ; 5. p/2 + pn, nÎZ;  
  Решить уравнение:   1. -p/4+pn, nÎZ. 2.-p/2+pn/2,nÎZ 3. p+ pn, nÎZ; 4.p+4pn, nÎZ. 5. p/2 + pn, nÎZ;    
  Решить уравнение: 5sin2x-sin6x+6=0 1.-p/4+pn, nÎZ. 2.-p/2+pn/2,nÎZ 3. p+ pn, nÎZ; 4.p+4pn, nÎZ. 5. p/2 + pn, nÎZ;  
  Найдите корни уравнения 1. 2. 3. 4. . 5. .
14. Найти корни уравнения (sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, принадлежащие отрезку [0; 2p].   1. 2. p; 3. 2p; p; 4.0; 5. p/2; p
  Решите уравнение:   sin2x – sinx = 2cosx – 1 1. 2 3. 4. . 5. .
  Решите уравнение: 1. 2. 1;p; 3. 2p; p; 4.0;1/ 5. .
  Решите уравнение: 1. . 2 3. 4. . 5. .
  Решите уравнение: 1. 2.-5/12. 3. 4. . 5. , -5/12.
  Решите уравнение: 1. . 2.-p/2+pn/2,nÎZ 3. p+ pn, nÎZ; 4.p+4pn, nÎZ. 5. p/2 + pn, nÎZ;    
  Наименьший целый корень уравнения равен     1.2; 2.5; 3.0; 4.-5 5. 6  
  Число корней уравнения равно   1.2; 2.5; 3.4; 4.3 5. 6  
  Наибольший целый корень уравнения 1.10; 2.12; 3.4; 4.5 5. 6  
  Решите уравнение: 1.0; 1. 2.0;-1. 3.0;1; p+ pn, nÎZ; 4.1;p+4pn, nÎZ. 5. 0; p/2 + pn, nÎZ;  
  Решите уравнение: sin x sin 5x = 1 1. 2.-p/2+pn/2,nÎZ 3. p+ pn, nÎZ; 4.p+4pn, nÎZ. 5. p/4 + pn, nÎZ;    
  Решите уравнение: sin1000 x+cos500x=1   1.-p/2+pn/2,nÎZ 2. , nÎZ. 3. p+ pn, nÎZ; 4.p+4pn, nÎZ. 5. p/2 + pn, nÎZ;  
  Решите уравнение: tg4x + tg4y + 2ctg2x ctg2y = 3 + sin2(x+y) 1. (; ); m + n = 2k. 2. , ,nÎZ. 3. p+ pn, nÎZ; 4.p+4pn, nÎZ. 5. p/2 + pn, nÎZ;  
  Решите уравнение:x2 +4x cos y +4 =0 1.(-2; 2pn) nÎZ; (2;p+ 2pn), nÎZ; 2) (-2;pn),(2; p+p)   3. (2;p+ pn), nÎZ; 4. (0,25;p+4pn), nÎZ. 5. (-1;p/2 + pn), nÎZ;  
  Решите уравнение: sinx=x2+x+1   1) n, nÎZ; 2) Æ; 3) 4)- ; 5) .
  Решите уравнениеsinx+cosx= +sin4x и в ответ запишите сумму корней уравнения Î [-2p: 2p]   1) ; 2) - ; 3) . 4) 2; 5) -2;
  Решите уравнение: x2 -4x cos y +4 =0   1.(-2; 2pn) nÎZ; (2;p+ 2pn), nÎZ; 2. (-2;pn),(2; p+pn), nÎZ.. 3. (-2; 2pn) nÎZ; (2;p+ 2pn), nÎZ; 4. (0,25;p+4pn), nÎZ. 5.(2;2pn),(-2; p+2pn), nÎZ..  
  Решите уравнение: 4sin x – 21+sin x cos xy +2│y│=0 1.(πn;0) nÎZ; 2 (-2;pn),(2; p+pn), nÎZ.. 3. (-2; 2pn) nÎZ; (2;p+ 2pn), nÎZ; 4. (0,25;p+4pn), nÎZ. 5.(2;2pn),(-2; p+2pn), nÎZ..  
  Решите уравнение: │1+ cos (p )│+│x2 - 15x + 44 │= 15x- x2 - cos (p ) - 45 1.9; 2.π; 3.4π; 4.5π; 5. 6.  
    Решите уравнение:   1. 2) Æ; 3). 4)- ; 5)  
  Решите неравенство 1.[1; +∞). 2. ½ 3. 4. 5.1.
  Сколько корней имеет уравнение ? 1.7; 2.8; 3.3; 4.9; 5.1  
  Решите уравнение: 1.[1; +∞). 2. ½ 3. 4. 5.1.
  Решить неравенство: 1.[1; +∞). 2.(½;4) 3. 4.(1;4]. 5.(1;4)    
  Решите уравнение:   tg (5x + 1) + tg (x-6) = 0.   1) 2) Æ; 3). 4)- ; 5) , где р
  Решите уравнение: 1) 2) Æ; 3). 4) - 5) , где р 4.
  Решите уравнение: 1.x= 0,25. 2. 3. 4. 5.1
  Решите уравнение: 1) 2) Æ; 3). 4)- ; 5) , где р
  Решите уравнение: 2cos πx=2x-1 1. 2. 3. 4.0,5; 5.-1.  
  Решите уравнение:     1. 2. 3.   4.0,5+πk; 5.-1.  
  Решите уравнение:   1. 2. 3.   4.0,5+πk; 5.-π.  
  Решите уравнение:   1. 2. 3.   4.0,5+πk; 5.-π..    
  Решите уравнение: cosx=x2 +2x+2 1)-1; 2) Æ; 3) 4) ; 5)0.  
  1. 2) Æ; 3) 4) ; 5) .  

 

Тема 4* Производная

 

Проверочный тест:

1.Найдите производную функции а) f(x) = 2x +5; б) f(x) = (3x -7)(4x+9);

в)f(x) = , г) f(x) =3x5.

2.Найдите f '(2), если а) f(x) = 8x +5; б) f(x) = (3x -7)(4x+9);

в)f(x) = ; г) f(x) =3x5.

3.Найдите f '(x), если а) f(x) = ; б) f(x) = ;

в)f(x) = (1-3x)4; г) f(x) = .

4.Найдите f '(x), если а) f(x) = sinx;б) f(x) = cos2x;

в)f(x) = tg3x; г) f(x) = ctg .

 

Ответы:

 

1. a) 2; б)24x-1; в) ; г)15x4.

2. a) 8; б) 47; в) ; г) 240.

3. a) ; б) ; в) -12(1-3x)3; г) .

4. a) cosx; б) -2sin2x; в) ; г) .

 

Улучшите свои знания

1.Производная суммы, произведения, частного, степени.

а)производная суммы двух функций (U и V) вычисляется по формуле

 

(U + V)' = U' + V',

в предположении, что производные слагаемых(U' и V') существуют.

Иначе: производная суммы двух дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций.

Замечания

 

1.1 Производная постоянной равна нулю: с'=0.

1.2 Производная от x равна 1: (x'=1).

1.3 Производная от kx+b равна k: (kx+b) ' = k.

1.4 Постоянный множитель можно выносить за занак производной,

например, (2x)'=2(x)'=2

Пример, (2x+5)' = (2x) '+ 5' = 2+0 =2.

 

б)производная поизведения двух функций (U и V) вычисляется по формуле

(U ∙ V)' = U'V + V'U,

в предположении, что производные множителей (U' и V') существуют.

 

Например, ((3x -7)(4x+9)) ' = (3x-7)'(4x+9) +(3x-7)(4x+9)' =3(4x+9)+4(3x-7) =

12x+27 +12x-28 = 24x -1.



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-02-13 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: