A) Формулы двойного аргумента

3.Тангенс половинного аргумента:tg x

Пример

Решение.

Найдите sinx, cosx, tgx, если cos2x= , x [π/2; π].

По формуле синуса половинного аргумента найдем sinx= = Выбираем знак «+», так как x [π/2; π](вторая четверть), sinx в этой четверти положительный.

По формуле косинуса половинного аргумента найдем соsx= = , выбираем знак «-», так как x [π/2; π](вторая четверть), cosx в этой четверти отрицательный.

tgx =

2. Разность синусов двух углов:

Пример

Упростите:

Решение.

К числителю дроби применим формулу разности синусов, а к знаменателю –формулу суммы косинусов, получим:

=

По формуле синуса двойного аргумента заменим: =2 , а

соs , получим = .

Наиболее часто встречающиеся ошибки

!Проверь, не делаешь ли ты так!

1.По значению sinα = - , α . Найдите соsα.

cоsα = , этот ответ неверный, т.к. α ,

а в этом промежутке значения косинуса отрицательны.

Правильно будет: cоsα = - .

2.Примените формулы приведения к выражениям а) sin(3π-α);б) tg(x - π).

а)sin(3π-α) = cosα. Это неверно, название функции не меняется, так как

3π =6 , 6 – четное число. Верно будет: sin(3π-α) = sinα.

б) tg(x - π) = ctgx, это неверно, верно будет: tg(x - π) =- tg( π-x) =-ctgx

Контрольный тест

1.Вычислите cos105˚- sin195˚+sin(-135˚).

2.Найдите sin , если tgx = 2, x .

3.Упростите выражение: .

4.Вычислите, не пользуясь таблицами: sin 22,5˚.

Таблица формул тригонометрии и рекомендации к их применению(3)

Название формулы	Формула	Применение в преобразованиях	Применение для исследования свойств функций	Примечания
Основная тригонометрическая единица	sin²x + cos²x =1	Выражение синуса через косинус и наоборот		Формула справедлива для любых значений аргумента
Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента		Выражение одних тригонометрических функций через другие тригонометрические функции того же аргумента	Для оценки множества значений функции применяется неравенство
tgx ·ctgx =1
Формулы сложения		Выражение тригонометрических функций суммы аргументов через тригонометрические функции слагаемых.     Выражение тригонометрических функций разности аргументов через тригонометрические функции уменьшаемого и вычитаемого	Представление суммы произведений тригонометрических функций в виде одной функции для оценки множества значений функции.	Формулы синусов и косинуса справедлива для любых значений аргумента Формулы для тангенсов справедливы для следующих значений аргумента   x±y≠ π/2+ πn, x≠π/2+πk, y≠π /2+πm, n,m,k –целые числа.
Синус суммы двух углов	sin(x +y) = sinxcosy + sinycosx
Синус разности двух углов	sin(x-y) =sinxcosy - sinycosx
Косинус суммы двух углов	cos(x+y)= cosxcosy- sinxsiny
Косинус разности двух углов	cos(x-y)= cosxcosy- sinxsiny
Тангенс суммы (разности) аргументов
Тригонометричские функции двойного аргумента	sin2x = 2sinxcosx   cos2x = cos2 x - sin2 x     tg2x =	Формулы позволяют от данного аргумента перейти к аргументу, в два раза меньшему, например, sin10x = 2sin5x·cos5x	Для оценки множества значений функций; для представления данного выражения в виде однородного относительно тригонометриических функций
Синус двойного аргумента:   Косинус двойного аргумента:   Тангенс двойного аргумента:
Синус половинного аргумента:   Косинус половинного аргумента:   Тангенс половинного аргумента:		Формулы позволяют от данного аргумента перейти к аргументу, в два раза большему, например, (sin5x = ± ), для понижения степени выражения.	Для оценки множества значений функций; для определения четности или нечетности, периодичности функции
Произведение тригонометрических функций		Для приведения подобных слагаемых при разложении нескольких произведений в сумму	Для определения периода функций
Произведение синуса и косинуса числа
Произведение синусов
Произведение косинусов
Сумма и разность тригонометрических функций		Для, прямого разложения выражения на множители, для разложения на множители способом группировки слагаемых	Для определения нулей функции, знаков функции, промежутков монотонности	Формулы справедливы для любых значений переменных
Сумма синусов
Разность синусов
Сумма косинусов
Разность косинусов
Линейное выражение относительно sinx и cosx		При решении тригонометрических уравнений	Для оценки множества значений функций; определения наибольшего и наименьшего значения функции	Формулы справедливы для любых значений переменных
Формулы приведения	Если в формуле приведения, аргумент α прибавляется к числу π/2(или вычитается из числа π/2), взятого нечетное число раз, то название функции меняется на «кофункцию»: б) если в формуле приведения аргумент α прибавляется к числу π/2(или вычитается из числа π/2), взятого четное число раз, то название функции не меняется; в) знак приведенной функции определяется по знаку приводимой функции в соответствующей четверти, считая угол α острым.	При переходе от тригонометрических функций суммы или разности к тригонометрической функции одного аргумента. При замене одной тригонометрической функции на «кофункцию».	Для определения знаков функции, вычисления значений функции, построения графиков с помощью преобразований	Формулы справедливы для любых значений переменных из области определения функций
Формулы тройного аргумента		Для перехода от данного аргумента к аргументу в три раза меньшему. Для понижения степени выражения.	Для оценки множества значений функции, периода функции, знака, промежутков монотонности
Синус тройного аргумента
Косинус тройного аргумента
Тангенс тройного аргумента
Сумма синуса и косинуса числа		Для решения уравнений вида sinx +cosx= a	Для оценки множества значений функции, знака функции и пр.	Формула справедливы для любых значений переменных
Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла		Для перехода к однородному выражению при решении тригонометрических уравнений	Для оценки множества значений функции, знака функции и пр.
Выражение синуса числа через тангенс половинного аргумента
Косинус через тангенс половинного аргумента	cosx=
Тангенс числа через тангенс половинного аргумента