Простейшие тригонометрические уравнения

Уравнение sinx = a, x- неизвестная переменная, a – некоторое постоянное число.

а) Если a>1 или a< -1, то уравнение sinx = a не имеет решений.

Например, уравнения sinx = 4, sinx = -2,4 не имеют решений.

б)Ecли a= 1, то решение уравнения: x=

в) Ecли a= -1, то решение уравнения: x= -

г) Ecли a= 0, то решение уравнения: x=

д) Ecли |a| то x=(-1)ⁿarcsina+πn, n .

Например, решение уравнения sinx = 0,3 записывается в виде:

x = (-1)ⁿarcsin0,3+πn, n .

Уравнение соsx = a, x- неизвестная переменная, a – некоторое постоянное число.

а) Если a>1 или a< -1, то уравнение cosx = a не имеет решений.

Например, уравнения cosx = 1,4, sinx = -2,5 не имеют решений.

б)Ecли a = 1, то решение уравнения: x=

в) Ecли a= -1, то решение уравнения: x=

г) Ecли a= 0, то решение уравнения: x=

д) Ecли a то x= arccosa+2πn, n .

Например, решение уравнения cosx = 0,3 записывается в виде

x= arccos0,3+2πn, n .

Уравнение tgx = a, x – неизвестная переменная, a – некоторое постоянное число.

Решение уравнения x = arctga + πn, n .

Например, решение уравнения tgx =3, будет x = arctg3 + πn, n .

Замечание: если a = 0, то x = πn, n .

Схема решения простейших тригонометрических уравнений

Нет корней Нет корней

■ ■

♦ ♦

● ●

Примеры

Решите уравнение:

а) sinx = 3; б) sinx = - ; в) cosx = -2,3; г) cosx = - ; д) tgx = .

а) Так как 3>1, то решений нет. Ответ: решений нет.

б) x =(-1)^karcsin(- )+ x =(-1)^k +

x =(-1)^k+1 + Ответ: (-1)^k+1 +

в) Так как -2,3>1, то решений нет; Ответ: решений нет.

г) x= , x= ;

Ответ: ;

д) tgx = , x = arctg + x = + Ответ: +

3.Виды тригонометрических уравнений:

1. Уравнения, в которых можно выполнить замену переменной

Такие тригонометрические уравнения можно привести, например, к виду

af²(x)+bf(x)+c= 0,

где a,b,c – некоторые действительные числа,a ≠0, f(x)- одна из тригонометрических функций.

Например, 4sin²x +5 sinx+1 = 0.

Обозначим sinx = t, (1)тогда данное уравнение можно записать в виде:

4t² +5t +1 = 0, это квадратное уравнение относительно t, найдем его корни.

D=9, t₁= -1;t₂=-0,25.

Подставим найденные значения t₁ и t₂ в равенство (1).

Получим простейшие тригонометричкские уравнения sinx =-1,sinx =- 0,25.

Решение первого уравнения x= - Решение второго уравнения

x =(-1)^k+1arcsin0,25+

Ответ: - ; (-1)^k+1arcsin0,25+

Пример

Решить уравнение sin² x + cosx +1= 0.

Решение

sin² x + cosx +1= 0, заменяя sin² x = 1- cos ²x, получим 1- cos ²x+ cosx +1= 0,

cos ²x - cosx -2= 0.

Обозначим cosx = t, (1)тогда данное уравнение можно записать в виде:

t² -t -2 = 0, это квадратное уравнение относительно t найдем его корни.

D=9, t₁= -1; t₂ =2

Подставим найденные значения t₁ и t₂ в равенство (1).

Получим простейшие тригонометричкские уравнения cosx = -1, cosx = 2.

Решение первого уравнения x=

Второе уравнение решений не имеет, т.к. 2>1.

Ответ: ,

2. Однородные тригонометрические уравнения.

Такие уравнения можно привести к виду a∙sin²x+bsinxcosx+ k∙cos²x= 0,

a,b,k – некоторые действительные числа, a≠0, k≠0.

Например, 4sin²x +5sinx cosx+cos²x = 0.Такие уравнения – однородные уравнения второй степени

Чтобы решить такое уравнение, надо:

1. Разделить почленно обе части уравнения на cos ²x ≠ 0,т.е.

4 ;

2.Выполнить преобразования: 4 4tg ²x +5tgx+1=0.

3.Решить квадратное уравнение относительно tgx, tgx =t.

4t ² +5t +1 = 0,

D=9, t1= -1;t2=- 0,25.

tgx = -1, tgx = - 0,25.

x = arctg(-1)+πk, или x = arctg(-0,25)+πn, ,

x = - +πk, или x = - arctg 0,25+πn, .

Ответ: - +πk, ; - arctg0,25+πn,

Пример

Решить уравнение 4sin²x +sin2x -3 = 0.

Решение

Заменим в данном уравнении sin2x по формуле двойного аргумента на 2sinxcosx, а 3- на 3sin²x +3сos²x, т.к. sin²x +сos²x =1, получим:

4sin²x +2sinxcosx-3sin²x -3сos²x =0, sin²x +2sinxcosx-3сos²x =0.

Последнее уравнение – однородное. Решим его:

1. ;

2. tg2x +2tgx - 3= 0.

3. tgx =t, t² +2t - 3= 0. D=16, t1= 1;t2= -2.

tgx = 1, tgx = - 3.

x = arctg1+πk, или x = arctg(-3)+πn, ,

x = +πk, или x = - arctg 3+πn, .

Ответ: +πk, ; - arctg3+πn,

Для решения однородных уравнений можно использовать следующую таблицу:

 

1. Привести уравнение к виду 2. Решить уравнение

 

3. Уравнение вида asinx+bcosx=c

Чтобы решить уравнение такого вида (например,3sinx+4cosx=2), можно 1.Записать его в виде sin(x +t) = (в нашем случае sin(x +t) = ,

sin(x +t) = ).

2.Решить простейшее тригонометрическое уравнение: sin(x +t) =

(в нашем случае sin(x +t) = , x+t =(-1)^karcsin0,4 +πk, ;

x = (-1)^k arcsin0,4 – t +πk, ;

3. Определить t, t = arctgb/a (в нашем случае t = arctg4/3);

4. Записать ответ: x = (-1)^k arcsin0,4 – arctg4/3+πk, .

 

Пример

Решите уравнение 2sinx +cosx = 1.

Решение

1. sin(x +t) = , sin(x +t) = ;

2. x+t = (-1)^k arcsin +πk, , x = (-1)k arcsin -t+πk, ;

3. t = arctg1/2;

4. , x = (-1)^k arcsin -arctg0,5 +πk, /

Для решения уравнения вида , где можно использовать следующую таблицу:

 

 

Уравнение	Равносильное уравнение	Дополнительное условие
		, , .

Если левая часть тригонометрического уравнения содержит лишь одно из выражений или и функцию (или произведение ), то, вводя новую переменную или и учитывая, что , , приходим к уравнению относительно .

Для решения тригонометрических уравнений данным способом можно использовать таблицу

 

5. Некоторые другие виды тригонометрических уравнений

Примеры

Решите уравнение:

а) sin(3x+ ) = 0,5; б) sin2x + cosx = 0; в)sinx + cosx = 0

Решение

а) sin(3x+ ) = 0,5.

Обозначим 3x+ = t, получим: sint = 0,5- простейшее уравнение, его решение t =(-1)k + Заменим t на 3x+ , получим 3x + = (-1)k +

Решим это уравнение относительно х:

3x = - + (-1)k + , разделим все члены правой части уравнения на 3, получим x = - + (-1)k + .

Ответ: - + (-1)k + .

 

б) sin2x – cosx = 0.

Заменим в данном уравнении sin2x по формуле синуса двойного аргумента на 2sinxcosx, получим

2sinxсos + cosx = 0.

Затем вынесем cosx за скобки, получим: cosx (2sinx-1) = 0,

откуда сosx = 0 или 2sinx -1=0;

x = или sinx = 0,5;

x = или x = (-1)n +

Ответ: ; (-1)n +

в) sinx + cosx = 0.

Это уравнение можно рассматривать как однородное уравнение первой степени относительно функций синуса и косинуса. Чтобы решить это уравнение:

Разделим почленно обе части уравнения на cosx,получим:

2.Выполним преобразования:

 

tgx +1 = 0, tgx = -1.

 

3.Решим простейшее уравнение tgx = -1, x=

Ответ:

6.Уравнения, решаемые с помощью применения свойств ограниченности тригонометрических функций

 

 

1) . Так как и для , то уравнение равносильно системе Так как , то — корень исходного уравнения.

 

Ответ: .

2)

=2

Ответ: .